11.1 空间几何体-【新课程能力培养】2023-2024学年新教材高中数学必修第四册学习手册（人教B版）

第十一章 立体几何初步 学 学 习 目 标 1. 利用实物、 计算机软件等观察空间图 形， 进一步认识空间几何体， 培养空间想象 能力 . 2. 了解斜二测画法的概念及步骤， 能用 斜二测画法画出简单几何体 （长方体、 球、 圆 柱、 圆锥、 棱柱等及其简单组合体） 的直观图 . 3. 逆用斜二测画法， 找出直观图的原图 . 要 点 精 析 要点 1 空间几何体的概念与几何体的 平面展开图 生活中的物体都占据着空间的一部分 . 若 只考虑一个物体占有的空间的形状和大小， 而不考虑其他因素， 则这个空间部分可抽象 为一个几何体， 这个几何体就叫作空间几何体 . 思考 1 如图所示的几何体， 你能画 出来吗？ 例 1 把图中的几何体沿棱剪开， 然后 放在平面上展开， 试画出这些图形的展开图 . 分析： 空间问题要转化为平面问题 ， 这种转化与化归思想将贯穿立体几何的 始终 . 解： 画出相应的图形如图所示 （答案不 唯一） . 变式训练 1 说出例 1 图对应的几何体的名称 . 第十一章 立体几何初步 11.1 空间几何体 11.1.1 空间几何体与斜二测画法 （ 1 ） （ 2 ） （ 3 ） （ 1 ） （ 2 ） （ 3 ） 45 高 中 数 学 必 修 第四册 （人教 B 版） 精编版 学 要点 2 直观图与斜二测画法 1. 立体几何中， 用来表示空间图形的平 面图形， 习惯上称为空间图形的直观图 . 通 常使用斜二测画法作直观图 . 2. 斜二测画法的步骤： （ 1 ） 用斜二测画法作水平放置的平面图 形的直观图步骤如下： ① 在平面图形中， 取互相垂直的 x 轴和 y 轴， 建立平面直角坐标系； ② 画 x′ 轴、 y′ 轴， 使得它们正方向夹角 为 45° 或 135° ； ③ 平面图形中与 x 轴平行 （或重合） 的 线段画成与 x′ 轴平行 （或重合 ）， 且长度 不变； ④ 平面图形中与 y 轴平行 （或重合） 的 线段画成与 y′ 轴平行 （或重合）， 且长度变 成原来的一半； ⑤ 连接有关线段， 擦去作图过程中的辅 助线 . （ 2 ） 用斜二测画法作立体图形的直观图 步骤如下： ① 在立体图形中取水平平面， 取原点互 相垂直的 x 轴和 y 轴， 作出水平平面的直观 图 （保留 x′ 轴、 y′ 轴）； ② 在立体图形中， 过原点取 z 轴垂直于 x 轴和 y 轴， 在直观图中作相应的 z′ 轴， 并 使得 z′ 轴垂直于 x′ 轴； ③ 图形中与 z 轴平行 （或重合） 的线段 画成与 z′ 轴平行 （或重合）， 且长度不变； ④ 连接有关线段， 擦去作图过程中的辅 助线， 并把被遮挡住的线段改成虚线 （或 擦除） . 思考 2 如图， △A′B′C′ 是水平放置的 △ABC 斜二测画法的直观图 ， 能否判断 △ABC 的形状？ 例 2 用斜二测画法画水平放置的边长 为 2 的正六边形 ABCDEF 的直观图 . 分析： （ 1 ） 用斜二测画法画图的关键 是在原图中找到决定图形位置与形状的点 并在直观图中对应画出， 故应首先建立适 当的平面直角坐标系 . （ 2 ） 对应的直观图坐 标系两轴正方向夹角为 45° 或 135°. （ 3 ） 注 意直观图与原图形的对应关系： 平行线段 仍平行； 平行于 x 轴的线段长度不变； 平 行于 y 轴的线段长度变为原来的一半， 即 “横不变， 纵减半” . 解析 ： （ 1 ） 在正六边形 ABCDEF 中 ， 连接 AD ， 以 AD 中点 O 为原点， AD 所在直 线为 x 轴， AD 中垂线为 y 轴， 建立平面直 角坐标系 xOy ， 如图 （ 1 ）， 其中 y 轴分别交 EF ， BC 于点 M ， N. 经计算可得 OA=OD=2 ， ME=MF=NB=NC=1 ， OM=ON= 3 姨 . （ 2 ） 画出相应的坐标系 x′O′y′ ， 使得 ∠x′O′y′=45° ， 如图 （ 2 ） . 在 x′ 轴负半轴上取点 A′ ， 正半轴上取 点 D′ ， 使得 O′A′=OA=2 ， O′D′=OD=2. 在 y′ 轴负半轴上取点 N′ ， 正半轴上取 点 M′ ， 使得 O′N′= 1 2 ON= 3 姨 2 ， O′M′= 1 2 OM= 3 姨 2 . 过点 M′ 作 E′F′∥x′ 轴， 并取 M′E′=M′F′ A′ B′ （ C′ ） O′ x′ y′ 46 第十一章 立体几何初步 学 =ME=1 ， 同样的方法过点 N′ 作 B′C′∥x′ 轴， 并取 N′B′=N′C′=NB=1. （ 3 ） 连接 A′B′ ， C′D′ ， D′E′ ， A′F′ ， 并 擦去辅助线， 可得如图 （ 3 ） 所示的六边形 A′B′C′D′E′