11. 2 平面的基本事实与推论-【新课程能力培养】2023-2024学年新教材高中数学必修第四册学习手册（人教B版）

第十一章 立体几何初步 学 11.2 平面的基本事实与推论 学 习 目 标 1. 掌握平面的画法及表示方法 . 2. 掌握平面的基本事实及推论 . 3. 能用图形、 文字、 符号三种语言描述 平面的基本事实， 并能解决空间线面的位置 关系问题 . 要 点 精 析 要点 1 点、 线确定平面 1. 确定平面的条件： （ 1 ） 不共线三点； （ 2 ） 直线与直线外一点； （ 3 ） 两条相交直 线； （ 4 ） 两条平行直线 . 2. 点、 线、 面位置关系判定： 如果一条 直线上的两个点在一个平面内， 那么这条直 线在这个平面内 . 思考 1 空间中的 3 个点需具备怎样 的条件才能确定一个平面？ 例 1 （ 1 ） 空间任意 4 点， 没有任何 3 点共线， 它们最多可以确定 个平面 . （ 2 ） 空间 5 点， 其中有 4 点共面， 它们 没有任何 3 点共线， 这 5 个点最多可以确定 个平面 . 分析： 本题主要考查平面基本事实 1 ， 不共线三点确定一个平面， 只要数清共有 几组不共线三点即可 ， 根据已知条件 ， （ 1 ） 中 4 点可看成一个三棱锥的 4 个顶点， 从中数出平面个数 . （ 2 ） 中 5 个点可以看成 四棱锥的 5 个顶点， 把立体几何问题放入 多面体中研究是一个重要手段 . 解析： （ 1 ） 可以想象三棱锥的 4 个顶 点， 如图 （ 1 ）， 它们总共确定 4 个平面 . （ 2 ） 可以想象四棱锥的 5 个顶点， 如图 （ 2 ）， 四 棱锥共 5 个表面， 2 个对角面， 所以它们一 共确定 7 个平面 . 变式训练 1 判断 （正确的画 “ √ ”， 错误的画 “ × ”） （ 1 ） 三点可以确定一个平面 . （ ） （ 2 ） 一条直线和一个点可以确定一个 平面 . （ ） （ 3 ） 四边形是平面图形 . （ ） （ 4 ） 两条相交直线可以确定一个平面 . （ ） 要点 2 证明点线共面 思考 2 证明点、 线共面问题的常用 方法有哪些？ 例 2 已知四条直线两两相交， 且不共 点， 求证： 这四条直线在同一平面内 . 分析： 四条直线两两相交且不共点 ， 可能有两种情况： 一是有三条直线共点； 二是任意三条直线都不共点， 故要分两种 P A B C P A B C D （ 1 ） （ 2 ） 75 高 中 数 学 必 修 第四册 （人教 B 版） 精编版 学 情况， 证明之前应先将文字语言转化为符 号语言 . 证明： 首先将题目转化为符号语言： 已 知： a ， b ， c ， d 四条直线两两相交， 且不共 点 . 求证： a ， b ， c ， d 四线共面 . （ 1 ） 若 a ， b ， c 三线共点于 O ， 如图 （ 1 ）， ∵O埸d ， ∴ 经 过 d 与点 O 有且只有一个平面 α. ∵A ， B ， C 分别是 d 与 a ， b ， c 的交点， ∴A ， B ， C 三 点在平面 α 内 . 由基本事实 2 可知 a ， b ， c 都在平面 α 内， 故 a ， b ， c ， d 共面 . （ 2 ） 若 a ， b ， c 无三线共点， 如图 （ 2 ）， ∵a∩b=A ， ∴ 经过 a ， b 有且仅有一个平面 α ， ∴B ， C∈ α. 由基本事实 2 可知 c奂α. 同理， d奂α ， 从 而 a ， b ， c ， d 有共面 . 综上所述， 四条直线 两两相交， 且不共点， 这四条直线在同一平 面内 . 变式训练 2 一条直线与三条平行直线都相交， 求 证： 这四条直线共面 . 要点 3 作相交平面的交线， 画多面体 的截面 基本事实 3 如果两个不重合平面有一 个公共点， 那么它们有且只有一条过该点的 公共直线 . 思考 3 怎么判断一个截面是否画完？ 例 3 如图， 正方体 ABCD鄄A 1 B 1 C 1 D 1 中， E ， F 分别为 AA 1 和 CC 1 的中点， 画出平面 BED 1 F 和平面 ABCD 的交线 . 分析： 根据基本事实 3 ， 两相交平面的 公共点都在一条直线上， 又有两点确定一 条直线， 所以只需确定平面的两个公共点 即可， 图中已有点 B 为公共点， 可在两平 面内各找一条直线找到交点连线即可， 一 般在正方体表面找 . 解 ： 如图 ， 在平面 AA 1 D 1 D 内 ， 延长 D 1 E ， DA ， ∵D 1 E 与 DA 不平行且共面， ∴D 1 E 与 DA 必交于一点 . 设交点为 P ， 则 P∈D 1 E ， P∈DA. 又 ∵D 1 E奂 平面 BED 1 F ， DA奂 平面 ABCD ， ∴P∈ 平面 BED 1 F ， 且 P∈ 平面 ABCD. 又 ∵B