10.3 复数的三角形式及其运算-【新课程能力培养】2023-2024学年新教材高中数学必修第四册学习手册（人教B版）

高 中 数 学 必 修 第四册 （人教 B 版） 精编版 学 学 习 目 标 1. 通过复数的几何意义， 了解复数的三 角表示式 、 复数的辐角及辐角的主值的 含义 ． 2. 了解复数乘、 除运算的三角表示， 复 数乘法运算的几何意义， 会利用复数三角形 式进行复数乘、 除运算 . 要 点 精 析 要点 1 复数代数形式与三角形式的互化 思考 1 复数也可以在坐标轴中表示， 那复数与三角函数又有什么关系呢？ 例 1 把下列复数的代数形式化成三角 形式 . （ 1 ） 1+ 3 姨 i ； （ 2 ） 2-2i. 解： （ 1 ） r= 1+3 姨 =2 ， ∵1+ 3 姨 i 对应 的点在第一象限， ∴cosθ= 1 2 ， 即 θ= π 3 ， ∴1+ 3 姨 i=2 cos π 3 +isin π 3 3 # . （ 2 ） r= 2 2 + （ -2 ） 2 姨 =2 2 姨 ， cosθ= 2 姨 2 ， 又 ∵2-2i 对应的点位于第四象限， ∴θ= 7π 4 ， ∴2-2i=2 2 姨 cos 7π 4 +isin 7π 4 3 4 . 例 2 分别指出下列复数的模和辐角主 值， 并把这些复数表示成代数形式 . （ 1 ） 4 （ cos30°+isin30° ）； （ 2 ） 3 姨 2 cos π 3 +isin π 3 3 4 . 解： （ 1 ） 复数 4 （ cos30°+isin30° ） 的模 为 4 ， 辐角主值为 θ=30°. 4 （ cos30°+ isin30° ） =4cos30°+4isin30°= 2 3 姨 +2i. （ 2 ） 复数 3 姨 2 cos π 3 +isin π 3 3 4 的模为 3 姨 2 ， 辐角主值为 θ= π 3 . 3 姨 2 cos π 3 +isin π 3 3 4 = 3 姨 2 cos π 3 + 3 姨 2 isin π 3 = 3 姨 4 + 3 4 i. 变式训练 1 复数 z＝－sin100°＋icos100° 的辐角主值是 （ ） A． 80° B． 100° C． 190° D． 260° 要点 2 复数三角形式的乘、 除运算 思考 2 复数的代数表示式可以相乘 除， 那复数的三角表示式可以乘除吗？ 有 什么意义？ 例 3 计 算 ： 8 （ cos240 ° + isin240 ° ） × 4 （ cos150°+isin150° ） . * 10.3 复数的三角形式及其运算 42 第十章 复 数 学 分析： 利用复数三角形式乘法运算法 则求解 . 解： 8 （ cos240 °+ isin240 ° ） ×4 （ cos150 °+ isin150° ） =32 ［ cos （ 240°+150° ） +isin （ 240°+150° ）］ =32 （ cos390°+isin390° ） =32 3 姨 2 + 1 2 2 #i =16 3 姨 +16i. 例 4 3 姨 cos 5π 4 +isin 5π 4 2 4 ÷ 2 姨 姨 cos 5π 6 +isin 5π 6 4 . 分析： 利用复数三角形式除法运算法 则求解 . 解： 3 姨 cos 5π 4 +isin 5π 4 2 4 ÷ 2 姨 2 cos 5π 6 +isin 5π 6 4 = 3 姨 2 姨 cos 5π 4 - 5π 6 2 4 +isin 5π 4 - 5π 6 2 46 ' = 6 姨 2 cos 5π 12 +isin 5π 12 姨 # = 6 姨 2 6 姨 - 2 姨 4 + 6 姨 + 2 姨 4 姨 #i = 3- 3 姨 4 + 3+ 3 姨 4 i. 变式训练 2 计算： 4÷ cos π 4 +isin π 4 姨 # . 要点 3 复数三角形式乘、 除运算的几 何意义 思考 3 若向量 OZ 1 1) 与 OZ 2 1) 分别表示复 数 z 1 ＝1＋2 3 姨 i ， z 2 ＝7＋ 3 姨 i ， 则 ∠Z 2 OZ 1 = （ ） A. π 3 B. 4π 3 C. 2π 3 D. 5π 3 例 5 在复平面内， 把复数 3- 3 姨 i 对 应的向量分别按逆时针和顺时针方向旋转 π 3 ， 求所对应的复数 . 分析： 复数旋转角度相当于乘上一个 模长为 1 ， 辐角为旋转角的复数， 注意 “顺 负逆正” . 解： ∵3- 3 姨 i=2 3 姨 3 姨 2 - 1 2 姨 4i =2 3 姨 cos 11 6 π+isin 11 6 姨 4 π . ∴ 逆时针旋转 π 3 可得 2 3 姨 cos 11 6 π+isin 11 6 姨 4 π · cos π 3 +isin π 3 姨 4 =2 3 姨 cos 11