10.2 复数的运算-【新课程能力培养】2023-2024学年新教材高中数学必修第四册学习手册（人教B版）

第十章 复 数 学 学 习 目 标 1. 掌握复数的加减法法则， 并能灵活应 用， 重点提升数学运算核心素养 ． 2． 理解复数加减法的几何意义， 重点培 养直观想象核心素养 ． 要 点 精 析 要点 1 复数的加减法运算 思考 1 （ 1 ） 两个复数的和是个什么 数， 它的值唯一确定吗？ （ 2 ） 若复数 z 1 ， z 2 满足 z 1 －z 2 ＞0 ， 能否认 为 z 1 ＞z 2 ？ 复数加减法运算法则： 设 z 1 =x 1 +y 1 i ， z 2 =x 2 +y 2 i （ x 1 ， y 1 ， x 2 ， y 2 ∈R ）， 则 z 1 +z 2 = （ x 1 +x 2 ） + （ y 1 +y 2 ） i ， z 1 -z 2 = （ x 1 -x 2 ） + （ y 1 -y 2 ） i. 利用加减法法则解决复数相关问题时， 注意区分实部和虚部 . 例 1 1 3 + 1 2 2 # i + （ 2+i ） - 8 3 - 3 2 2 2 i = . 分析： 按照复数加减法运算法则， 实 部和实部运算， 虚部和虚部运算 . 解析： 1 3 + 1 2 2 2 i + （ 2+i ） - 8 3 - 3 2 2 2 i = 1 3 +2- 8 3 2 2 + 1 2 +1- - 3 2 2 2 2 ' i =- 1 3 +3i. 例 2 （ 1 ） 已知复数 z 满足 z+2-2i=4+ i ， 求 z ； （ 2 ） 已知复数 z 满足 |z|-z=2-4i ， 求 z. 分析 ： 用待定系数法设复数 z=x+yi （ x ， y∈R ）， 然后按照复数加减法运算法 则， 实部和实部运算， 虚部和虚部运算 . 解： （ 1 ） 法一： 设 z=x+yi （ x ， y∈R ）， ∵z+2-2i=4+i ， ∴x+yi+2-2i=4+i ， 即 （ x+2 ） + （ y-2 ） i=4+i ， ∴ x+2=4 ， y-2=1 1 ， 解得 x=2 ， y=3 1 ， ∴z=2+3i. 法二： ∵z+2-2i=4+i ， ∴z= （ 4+i ） - （ 2-2i ） =2+3i. （ 2 ） 设复数 z=x+yi （ x ， y∈R ）， 则 |z|= x 2 +y 2 姨 ， 又 ∵|z|-z=2-4i ， ∴ x 2 +y 2 姨 - （ x+yi ） =2-4i ， 由复数相等的定义得 x 2 +y 2 姨 -x=2 ， -y=-4 4 , , , + , , , - ， 解 得 x=3 ， y=4 1 ， ∴z=3+4i. 变式训练 1 实数 x ， y 满足 z 1 ＝y＋xi ， z 2 ＝yi－x ， 且 z 1 － z 2 ＝2 ， 则 xy 的值是 （ ） 10.2 复数的运算 10.2.1 复数的加法与减法 37 高 中 数 学 必 修 第四册 （人教 B 版） 精编版 学 A． 1 B． 2 C． －2 D． －1 要点 2 复数加减法的几何意义 思考 2 设向量 OZ 1 1" ， OZ 2 1" 分别表示复 数 z 1 ， z 2 ， 那么向量 OZ 1 1" ＋OZ 2 1" 表示的复数应 该是什么？ 例 3 已知复数 z 1 =3+ai ， z 2 =a+2i （ a∈ R ）， 且复数 z 1 -z 2 在复平面内对应的点位于 第四象限， 求 a 的取值范围 . 分析： 先求出 z 1 -z 2 = （ 3-a ） + （ a-2 ） i ， 再 利用 z 1 -z 2 在复平面内对应的点位于第四象 限得到关于 a 的不等式组， 解不等式组得 a 的取值范围 . 解： 由题意得 z 1 -z 2 = （ 3-a ） + （ a-2 ） i ， ∵ 复数 z 1 -z 2 在复平面内对应的点位于第 四象限， ∴ 3-a>0 ， a-2<0 0 ， ∴a<2. 例 4 已知 z １ ， z 2 ∈C ， |z 1 |=|z 2 |=2 ， |z 1 - z 2 |=2 3 姨 ， 求 |z 1 +z 2 |. 分析： 由复数的几何意义， 结合平行 四边形性质解决 . 解： 设复数 z 1 ， z 2 ， z 1 +z 2 在复平面内对 应的点分别为 A ， B ， C ， 则BA 1" =z 1 -z 2 ， ∵|z 1 |=|z 2 |=2 ， |z 1 -z 2 |=2 3 姨 ， 由平面几何 知识可知四边形 OACB 为菱形， 且 cos∠AOB= OA 2 +OB 2 -AB 2 2OA · OB = 2 2 +2 2 - （ 2 3 姨 ） 2 2×2×2 =- 1 2 ， ∴∠AOB=120° ， ∴△OBC 为正三角形， ∴|OC|=|OB|=2 ， 即