10.1 复数及其几何意义-【新课程能力培养】2023-2024学年新教材高中数学必修第四册学习手册（人教B版）

高 中 数 学 必 修 第四册 （人教 B 版） 精编版 学 学 习 目 标 1. 了解数集的扩充过程， 了解引入复数 的必要性 . 2. 理解复数及其相关概念： 实部、 虚 部、 虚数、 纯虚数等， 明确复数的分类 . 3. 掌握复数相等的充要条件， 并能应用 这一条件解决有关问题 . 要 点 精 析 要点 1 复数的概念 思考 1 复数 a＋bi 的实部为 a ， 虚部为 b ， 这种说法对吗？ 例 1 给出下列三个命题： ① 若 z∈C ， 则 z 2 ≥0 ； ②4i-2 的虚部是 4i ； ③3i 的实部 是 0. 其中真命题的个数为 （ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 分析： 利用复数定义区分实部和虚部， 尤其需要注意虚部是 i 的系数 . 解析： ① 当 z∈R 时， z 2 ≥0 成立； 否则 不成立， 例如 z=2i ， z 2 =-4<0 ， 所以 ① 为假命 题； ②4i-2=-2+4i ， 所以虚部为 4 ， 不是 4i ， 所以 ② 为假命题； ③3i=0+3i ， 实部为 0 ， 所 以 ③ 为真命题 . 故选 B. 变式训练 1 复数 i-3 的虚部是 （ ） A. 3 B. -3 C. 1 D. i 例 2 已知复数 z=a 2 - （ 2-b ） i 的实部和虚 部分别为 4 和 5 ， 则实数 a ， b 的值分别是 a= ， b= . 分析： 利用复数定义找出实部、 虚部， 对应代入数据求解 . 解析： 由题意可得 a 2 =4 ， - （ 2-b ） =5 5 ， 解得 a=±2 ， b=7 5 . 变式训练 2 下列命题中： ①1＋i 2 ＝0 ； ② 若 a ， b∈R ， 且 a>b ， 则 a＋i>b＋i ； ③ 若 x 2 ＋y 2 ＝0 ， 则 x＝y＝0 ； ④ 两个虚 数不能比较大小； ⑤x＋yi＝1＋i圳x＝y＝1. 其中， 正确命题的个数是 （ ） A． 1 B． 2 C． 3 D． 4 要点 2 复数的分类 例 3 复数 z=a 2 -b 2 + （ a+|a| ） i （ a ， b∈R ） 为纯虚数的充要条件是 （ ） 第十章 复 数 10.1 复数及其几何意义 10.1.1 复数的概念 32 第十章 复 数 学 A. |a|=|b| B. a<0 且 a=-b C. a>0 且 a≠b D. a>0 且 a=±b 分析： 利用纯虚数的实部为 0 ， 虚部不 为 0 的特性 . 解析： 要使复数 z 为纯虚数， 得 a 2 -b 2 =0 ， a+|a|≠0 0 ， 解得 a=±b ， a>0 0 . 故选 D. 例 4 已知 m∈R ， 复数 z= m （ m+3 ） m-2 + （ m 2 -4 ） i ， 当 m 为何值时， （ 1 ） z 为实数？ （ 2 ） z 为纯虚数？ 分析 ： 利用复数分类方法列出方程 （不等式） 组求解 . 解 ： （ 1 ） 要使 z 为实数 ， 需要满足 m 2 -4=0 ， m-2≠0 0 ， 解得 m=-2. （ 2 ） 要 使 z 为 纯 虚 数 ， 需 要 满 足 m （ m+3 ） m-2 =0 （ m≠2 ）， m 2 -4≠0 0 & & & & % & & & & ' ， 解得 m=0 或 m=-3. 变式训练 3 若 log 2 （ x 2 －3x－2 ） ＋ilog 2 （ x 2 ＋2x＋1 ） >1 ， 则 实数 x 的值是 ． 思考 2 由 4>2 能否推出 4＋i>2＋i ？ 要点 3 复数相等的充要条件 例 5 若（ x+y ） +yi= （ x-2y ） + （ x+3 ） i ， 求实 数 x ， y 的值 . 分析： 根据复数相等的充要条件求解 . 解： 由复数相等的充要条件， 得 x+y=x-2y ， y=x+3 0 ， 解得 x=-3 ， y=0 0 . 例 6 关于 x 的方程 3x 2 - a 2 x-1= （ 10-x- 2x 2 ） i 有实根， 求实数 a 的值 . 分析： 根据复数相等的充要条件求解 . 解： 设原方程的实根为 x=t ， 则原方程可变为 3t 2 - a 2 t-1= （ 10-t-2t 2 ） i ， 由复数相等的条件得方程组 3t 2 - a 2 t-1=0 ， 10-t-2t 2 =0 0 & & & & % & & & & ' ， 解得 t=2 ， a=1 0 1 或 t=- 5 2 ， a=- 71 5 0 & & & & & & % & & & & & & ' . 变式训练 4 已知 （ m 2 ＋7m＋10 ） ＋ （ m 2 －5m－14 ） i＝0 ， 则 实数 m＝ . 数 学 文 化 欧拉公式 e ix =cosx+i