9.3 数学探究活动得到不可达两点之间的距离-【新课程能力培养】2023-2024学年新教材高中数学必修第四册学习手册（人教B版）

第九章 解三角形 学 学 习 目 标 1. 掌握测量两个不可达的点之间的距离 时， 把测量不可达的两点 A ， B 之间的距离 问题转化为应用余弦定理求三角形的边长问 题， 然后在相关三角形中利用正弦定理计算 相关的边长 . 2. 通过解决一个 “平面内不可达的两点 之间的距离” 的问题， 掌握将实际问题转化 为解三角形问题的方法， 进一步提高应用正 弦定理、 余弦定理解斜三角形的能力， 提高 运用数学知识解决实际问题的能力 . 3． 通过解决 “平面内不可达的两点之间 的距离” 问题， 体会如何将具体的实际问题 转化为抽象的数学问题 . 培养数学应用意识 和探索问题、 解决问题的能力， 学习用数学 的思维方式去解决问题， 认识世界 . 要 点 精 析 要点 1 探究活动： 得到不可达两点之间 的距离的探究步骤 （ 1 ） 设计测量方案 . （ 2 ） 明确计算方法 . （ 3 ） 根据地形选取测量点 ， 测量所需 数据 . （ 4 ） 计算结果 . （ 5 ） 填写活动报告 . 思考 １ 如图所示， 为了测量某湖泊 两侧 A ， B 的距离， 某同学首先选定了与 A ， B 不共线的一点 C ， 然 后 给 出 四 种 测 量 方 案 （ △ABC 的角 A ， B ， C 所 对的边分别记为 a ， b ， c ）： ① 测量 A ， C ， b ； ② 测量 a ， b ， C ； ③ 测量 A ， B ， a ； ④ 测量 a ， b ， B. 则一定能确定 A ， B 间距离的所有方案 的序号为 （ ） A． ①②③ B． ②③④ C． ①③④ D． ①②③④ 例 1 如图， AB 是底部不可到达的一个 建筑物， A 为建筑物的最高点 . 某学习小组准 备了三种工具： 测角仪 （可测量仰角与俯 角）、 米尺 （可测量长度）、 量角器 （可测量 平面角度） . （ 1 ） 请你利用准备好的工具 （可不全使 用）， 设计一种测量建筑物高度 AB 的方法， 并给出测量报告 . 注： 测量报告中包括你使用的工具， 测 量方法的文字说明与图形说明， 所使用的字 母和符号均需要解释说明， 并给出你最后的 计算公式 . （ 2 ） 该学习小组利用你的测量方案进行 了实地测量， 并将计算结果汇报给老师， 发 现计算结果与该建筑物实际高度有误差， 请 9.3 数学探究活动： 得到不可达两点之间的距离 A B A B 27 高 中 数 学 必 修 第四册 （人教 B 版） 精编版 学 你针对误差情况进行说明 . 分析： （ 1 ） AB 底部不可达， 因此可用 解三角形思想求解， 测量出相应的线段长度 和角度， 然后由三角形的知识进行计算 . （ 2 ） 误差产生的原因很多， 如工具误 差， 两次测量时位置不完全一样 （每个数据 都可能出现误差） . 解： （ 1 ） 选用测角 仪和米尺， 如图所示 . ① 选择一条水平基线 HG （如图）， 使 H ， G ， B 三点共线； ② 在 H ， G 两点用测角仪测得 A 的仰角 分别为 α ， β ， 用米尺测得 CD=a ， 量得测角 仪的高为 h ； ③ 经计算建筑物 AB= asinαsinβ sin （ α-β ） +h （或者 写成 atanαtanβ tanα-tanβ +h ） . （ 2 ） ① 测量工具问题； ② 两次测量时位置的间距差； ③ 用身高代替测角仪的高度 . 变式训练 1 如图， 要测量山顶上的电视塔 FG 的高 度， 已知山的西面有一栋楼 AC （该楼的高 度低于山的高度） . 试设计在楼 AC 上测量并 计算山顶上的电视塔高度的方案 . 要点 2 方案设计问题 （ 1 ） 设计方案测量有关长度或者高度， 一般以简便为原则， 构建在同一个三角形中 解决问题， 对于较复杂的问题， 也可以考虑 构建在几个三角形中 . （ 2 ） 在具体设计时， 一定要先设计方案， 然后决定收集哪些信息、 数据， 最后进行测 量计算 . 在设计方案时要注意实际测量往往 受地形地貌、 测量工具等条件的制约， 方案 要切实可行， 测量也要符合题目和实际要求 . 思考 ２ 我们都知道， 月球是距离地 球最近的星球 ， 月球与地球近地点的距 离是 363000 km ， 与地球远地点的距离是 406000 km ， 地球与月球的平均距离是 384403.9 km. 可以肯定的是， 没有一个人 测量过地月距离 . 问题： 你能给出一个方案， 测量出地 月距离吗？ 例 2 目前， 中国已经建成全球最大的 5G 网络， 无论是大山深处还是广袤平原 ， 处处都能见到 5G 基站的身影 . 如图 （ 1 ）， 某同学在一条水平公路上观测对面山顶上的 一座 5G 基站 AB ， 已知基站高 AB