8.1 向量的数量积-【新课程能力培养】2023-2024学年新教材高中数学必修第三册同步练习（人教B版）

第八章 向量的数量积与三角恒等变换 练 △ABC 的外心为 O ， 垂心为 H ， 重心为 G ， 且 AB=3 ， AC=4 ， 下列说法正确的是 （ ） A. A A# H · B AB C =0 B. A AB G · B AB C =- 7 3 C. A AB O · B AB C = 7 2 D. O AB H =O AB A +O AB B +O AB C 10. （多选题） 已知 a ， b ， c 是平面内的 三个单位向量， 且 a · b= 1 2 ， 则 （ a-b ）· b- 1 2 2 & c 的可能值为 （ ） A. -1 B. - 2 姨 2 C. 0 D. 2 姨 2 11. （多选题 ） 已知 △ABC 是边长为 2 的等边三角形， D ， E 分别是 AC ， AB 的中 点， BD 与 CE 交于点 O ， 则下列说法正确的 是 （ ） A. A A# B · C A# E =-1 B. B A# D = 1 2 B A# C + 1 2 B A# A C. ｜O A# A +O A# B +O A# C ｜=0 D. E A# C 在 B A# C 方向上的投影为 7 6 12. （多选题 ） 如图 ， 在 Rt△ABC 中 ， CD 是斜 边 AB 上的高， 则下列等 式恒成立的是 （ ） A. ｜A A# C ｜ 2 =A A# C · A A# B B. ｜B A# C ｜ 2 =B A# A · B A# C C. ｜A A# B ｜ 2 =A A# C · C A# D D. ｜C A# D ｜ 2 = （ A A# C · A A# B ）（ B A# A · B A# C ） ｜A A# B｜ 2 13. （多选题） 设 a ， b ， c 是任意的非零 平面向量， 则下列结论中正确的有 （ ） A. ｜a｜-｜b｜<｜a-b｜ B. （ a · b ） c- （ c · a ） b=0 C. （ b · a ） c- （ c · a ） b 与 a 垂直 D. （ 3a+2b ）·（ 3a-2b ） =9｜a｜ 2 -4｜b｜ 2 14. 已知向量 a ， b 的夹角为 60° ， ｜a｜=2 ， ｜b｜=1 ， 则 ｜a-b｜= . 15. 已知单位向量 e 1 ， e 2 的夹角为 π 3 ， a=2e 1 -e 2 ， 则 a 在 e 1 上的投影是 . 16. 已知不共线的单位向量 e 1 和 e 2 满足 ｜e 1 +λe 2 ｜-｜e 1 -λe 2 ｜=1 ， 其中 λ≥ 6 姨 4 ， 则 〈 e 1 ， e 2 〉 的取值范围为 . 17. 已知 a = （ 2 ， 1 ） ， b = （ 2 ， -1 ） ， c= （ 0 ， 1 ）， 则 （ a+b ）· c= ； a · b= . 提 升 练 习 18. 已知 ｜a｜=2 ， ｜b｜=3 ， （ 2a-3b ）·（ 2a+b ） =-7. （ 1 ） 若 a-b 与 3a+kb 垂直， 求 k 的值； （ 2 ） 求 a 与 a+b 夹角的余弦值 . 第 12 题图 C B A D 43 练 高 中 数 学 必 修 第三册 （人教 B 版） 精编版 19. 设 m ， n 是夹角为 π 3 的单位向量， a= 2m+n ， b=-3m+tn ， （ 1 ） 若 t=2 ， 求 a 与 b 的夹角； （ 2 ） 若 a⊥b ， 求 t 的值 . 20. 已知向量 a 与 b 的夹角 θ= 2π 3 ， 且 ｜a｜=3 ， ｜b｜=2. （ 1 ） 求 a ， b ， ｜a+b｜ ； （ 2 ） 求向量 a 与 a+b 的夹角的余弦值 . 21. 已知 ｜m｜=4 ， ｜n｜=3 ， m 与 n 的夹角为 60° ， a=4m-n ， b=m+2n ， c=2m-3n. 求： （ 1 ） a 2 +b 2 +c 2 . （ ２ ） a · b+2b · c-3c · a. 22. 在 △ABC 中， a ， b ， c 是 A ， B ， C 对应的边， 向量 m= （ a+b ， -c ）， n= （ a+b ， c ）， 且 m · n= （ 2+ 3 姨 ） ab. （ 1 ） 求角 C ； （ 2 ） 函数 f （ x ） =2sin （ A+B ） cos 2 （ ωx ） -cos （ A+ B ） sin （ 2ωx ） - 1 2 （ ω>0 ） 的相邻两条对称轴分 别为 x=x 0 ， x=x 0 + π 2 ， 求 f （ x ）在区间 ［ -π ， π ］ 上的单调递增区间 . 44 第八章 向量的数量积与三角恒等变换 练 效 果 评 价 1. 已知向量 ｜ａ ｜＝2 ， ｜ｂ