1.3 正方形的性质与判定 练习 2022—2023学年北师大版数学九年级上册

北师大版九年级上册1.3 正方形的性质与判定 一、选择题 1. 如图，把正方形沿着对角线． 的方向移动到正方形的位置，它们重叠的部分的面积是正方形面积的一半，若，则正方形移动的距离是（     ）     A． B． C． D．无法确定 2. 下列命题是假命题的是（       ） A．对角线相等的平行四边形是正方形 B．四条边相等的四边形是菱形 C．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 D．四个角相等的四边形是矩形 3. 如图，点在正方形的边上，若，，那么正方形的面积为（　　）     A． B． C． D． 4. 下列说法正确的个数有（       ） ①对角线互相平分的四边形是平行四边形 ②对角线相等的四边形是矩形 ③对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形 ④平行四边形不是中心对称图形 ⑤顺次连接矩形各边的中点所得到的四边形一定是菱形 A．2 B．3 C．4 D．5 5. 如图1是由四个全等的直角三角形组成的“风车”图案，其中，延长直角三角形的斜边恰好交于另一直角三角形的斜边中点，得到如图2，若，则该“风车”的面积为（     ） A． B． C． D． 6. 如图①，在正方形中，点M是的中点，设，．已知y与x之间的函数图象如图②所示，点是图象上的最低点，那么正方形的边长的值为（       ）     A．2 B． C．4 D． 7. 如图，正方形的边长为3，点P是正方形的内部一动点，且正方形的面积始终等于的面积的6倍，连接，则线段的最小值为（       ）     A． B． C．4 D．5 8. 如图，四边形和四边形均为正方形，点为的中点，若，连接，则的长为（） A． B． C． D． 9. 如图，正方形的对角线相交于点，点为上一动点．连接，作交于点，已知，则四边形的面积为（       ） A．1 B．2 C． D．4 10. 如图，是正方形的两个顶点，以正方形的对角线为边作正方形，再以正方形的对角线为边作正方形，…，依此规律，则点的坐标是（     ） A． B． C． D． 11. 如图，在正方形中，对角线与交于点O，，点E为线段的中点，连接，将线段绕着点E逆时针旋转，得到线段，连接，，则的面积为（　　）     A． B．3 C． D． 12. 如图，正方形中，，点E为对角线上的动点，以为边作正方形，点H是上一点，且，连接，则的最小值为（       ）     A． B． C．1 D．2 二、填空题 13. 四边形的对角线、满足条件:______时，顺次连接四边形各边的中点所得四边形是矩形． 14. 如图，在正方形中，将边绕点逆时针旋转至，连接，，若，，则线段的长度为______． 15. 如图，在边长为的正方形中，点E为对角线上的一个动点，将线段绕点B逆时针旋转，得到线段，连接，点G为的中点，则点E从点C运动到点A的过程中，点G的运动路径长为__________． 16. 如图，点在正方形外，连接、、，过点A作的垂线交于点．若，，则下列结论： ①；②；③点B到直线的距离为；④．其中正确的结论是______．（填写所有正确结论的序号） 三、解答题 17. 如图，在正方形的内部作等边，连接． (1)求证：； (2)若，求的面积． 18. 如图，中，，和的外角平分线交于点A，过点A分别作直线，的垂线，点B，D为垂足．     (1)求证：四边形是正方形； (2)若（a为常数），求的值． 19. 如图，在菱形中，与相交于点，，，，分别是边，，，的中点，连接，，，．     (1)若，，求的长度； (2)判断四边形的形状，并说明理由； (3)给菱形添加一个条件：_____________，可得四边形是正方形． 20. 【课本再现】 (1)如图1，正方形的对角线相交于点O，点O又是正方形的一个顶点，而且这两个正方形的边长都为1，四边形为两个正方形重叠部分，正方形可绕点O转动，则下列结论正确的是_______（填序号即可）．①；②；③四边形的面积总等于；④连接，总有．     【类比迁移】 (2)如图2，矩形的中心O是矩形的一个顶点，与边相交于点E，与边相交于点F，连接，矩形可绕着点O旋转，猜想之间的数量关系，并进行证明； 【拓展应用】 (3)如图3，在中，，直角的顶点D在边的中点处，它的两条边和分别与直线相交于点E，F，可绕着点D旋转，当时，求线段的长度． $$