第二节构造函数求极值、最值以及求解函数不等式练习-2024届新高考数学一轮复习讲与练

练习 1、 选择题 1、（2021深圳高二期末调研）设，若存在正实数，使得不等式成立，则的最大值为（ ） A． B． C． D． 2、（2023·陕西渭南·统考二模）若定义在上的函数的导函数为，且 ，则下列不等关系中正确的是（  ） A． B． C． D． 二、填空题 3、（2023·山东烟台二模）已知函数的定义域为，，对任意，则的解集为____________． 4、（2022深圳市六校联考）已知，若满足，则的最大值为_______． 5、（2023·山东淄博二模）已知定义在R上的可导函数的导函数为，满足，且，，则不等式的解集是________． 6、（2023·山东临沂二模）已知函数是定义域为的奇函数，当时，，且，则不等式的解集为___________. 三、多选题 7、（2023·浙江杭州·模拟预测）已知，且，则（  ） A． B． C． D． 8、（2022·东莞·高二期末）已知函数有两个极值点、，则下列选项正确的有（  ） A． B．函数有两个零点 C． D． 9、（2023·广东茂名·统考一模）e是自然对数的底数，，已知，则下列结论一定正确的是（  ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 练习 1、 选择题 1、（2021深圳高二期末调研）设，若存在正实数，使得不等式成立，则的最大值为（ ） A． B． C． D． 解：因为，所以，因为，所以，即． 因为，设函数在为增函数，所以所以． 又函数在为增函数，在为减函数，所以的最大值为． 命题意图：本题涉及函数与导数知识，重点考查函数的单调性以及构造新函数，对学生的逻辑推理能力，运算能力的都有比较高的要求． 2、（2023·陕西渭南·统考二模）若定义在上的函数的导函数为，且 ，则下列不等关系中正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】令，则， 因为，所以在上恒成立，因此函数在上单调递减，故，即，即，故A错； 又，所以，所以在上恒成立， 因为，所以，故B错； 又，所以，即，故C正确； 又，所以，即，故D错误.故选：C. 二、填空题 3、（2023·山东烟台二模）已知函数的定义域为，，对任意，则的解集为____________． 【答案】. 【解析】设，可得， 因为对任意，所以，所以在为单调递增函数， 又由，可得， 所以当时，，即不等式的解集为. 4、（2022深圳市六校联考）已知，若满足，则的最大值为_______． 【答案】0 【分析】设，可构造函数，利用导数可求函数最大值. 【详解】由题意，设，则， 设，，易知在上单调递减，且， ∴当时，，单调递增，当时，，单调递减， ∴时，，故的最大值为0． 5、（2023·山东淄博二模）已知定义在R上的可导函数的导函数为，满足，且，，则不等式的解集是________． 【答案】 【解析】设，∴，∴在R上单调递减． ∵，∴的图象关于直线对称，∴，∴． ∵，∴，即，∴2，故不等式的解集是． 6、（2023·山东临沂二模）已知函数是定义域为的奇函数，当时，，且，则不等式的解集为___________. 【答案】 【解析】因为为奇函数，定义域为，所以，，又因为时，，所以，构造函数，所以，当时，，在上单调递增，又因为，所以，在上大于零，在上小于零，又因为，所以当时，在上大于零，在上小于零，因为为奇函数，所以当时，在上小于零，在上大于零，综上所述：的解集为. 三、多选题 7、（2023·浙江杭州·模拟预测）已知，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【解析】两边取对数，得，构造函数，则.， 则在上单调递增，在上单调递减，且，得的图象如下所示， 又，所以.故选：AD. 8、（2022·东莞·高二期末）已知函数有两个极值点、，则下列选项正确的有（       ） A． B．函数有两个零点 C． D． 答案．ACD 【分析】问题化为在上有两个变号零点，讨论参数a研究的单调性，结合零点存在性定理判断区间零点情况，进而求出a的范围，再研究的单调性，结合零点存在性定理判断零点个数，且可得，最后应用对数均值不等式判断C、D. 【详解】对于A,由题设，在上有两个变号零点， 令，则， 若，则，即递增，此时不可能存在两个零点； 所以，则时，递增；时，递减； 故，注意到，要使存在零点，则，可得，则， 此时x趋向于正无穷时趋于负无穷，则在各有一个零点，满足题意，A正确； 对于B,由分离参数法可得，只有当时函数有两个零点，B错误； 对于C、D,先来证明一个不等式：对数均值不等式，证明如下：不妨设 令，要证，即证， 考察函数，则，故函数在上递减， 所以，即，故得证； 令，要证，即证， 考察函数，则，故在上递增， 所以，即，故得证； 因为、是的两