第二节构造函数求极值、最值以及求解函数不等式讲义-2024届新高考数学一轮复习讲与练

第二节 构造函数法求极值、最值及求解函数不等式 考点梳理 1、多元归一构造法： （1）对于形如的问题，令，确定关于t的函数关系式，构造函数并利用导数求解； （2）对于形如的函数，令，构造函数求解. 2、“同构法”构造新函数： 对于等式左右两边结构特征相同的问题可利用“同构法”构造新函数求解（主要是“指数”“对数”同构型函数问题），其常见形式有： （1）积型：的三种构造形式： ①型，构建函数； ②型，构建函数； ③型，构建函数. （2）商型：的三种构造形式为： ①型，构建函数； ②型，构建函数； ③型，构建函数. （3）已知和的关系式，适当构造新函数求解函数不等式或比较大小问题，常见类型有： ①型，构造函数 ②型，构造函数 ③型，构造函数 ④型，构造函数 ⑤型，构造函数 ⑥型，构造函数 ⑦型，构造函数 ⑧型，构造函数. 重难点题型突破 一、多元归一构造法 例1、（2023·广东湛江·统考二模）对于两个函数，与，若这两个函数值相等时对应的自变量分别为，，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 二、“同构法”构造新函数 例2、（2022·四川遂宁市·高三模拟）若，则的最大值为（ ） A． B． C． D． 点睛：对于等式左右两边结构特征相同的问题可利用“同构法”构造新函数求解： （1）化为是“指”“对”同构型函数的常用变形技巧，注意掌握； （2）构造函数、参变分离，转化为恒成立问题求解. 三、已知和的关系式，适当构造新函数问题求解函数不等式或比较大小问题 例3、（2023·山东淄博二模）已知定义在R上的函数的导函数为，若，且，则不等式的解集是（  ） A． B． C． D． 例4、（2023·山东菏泽二模）已知函数是定义在上的可导函数， 其导函数记为，若对于任意实数，有，且，则不等式的解集为（  ） A． B． C． D． 例5、（2023·山东青岛二模）设定义在R上的函数满足任意，都有，且时，，则，，的大小关系是（  ） A． B． C． D． 例6、（2023·山西·校联考模拟预测）定义域为的函数的导数为，若，且，则（  ） A． B． C． D． 例7、（多选题）（2023·甘肃金昌第一高级中学模拟）已知定义在R上的函数满足，则下列式子成立的是（   ） A． B． C．是R上的增函数 D．，则 例8、（多选题）（2023·重庆市育才中学校考模拟预测）已知函数对于任意的都有，则下列式子成立的是（  ） A． B． C． D． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二节 构造函数法求极值、最值及求解函数不等式 考点梳理 1、多元归一构造法： （1）对于形如的问题，令，确定关于t的函数关系式，构造函数并利用导数求解； （2）对于形如的函数，令，构造函数求解. 2、“同构法”构造新函数： 对于等式左右两边结构特征相同的问题可利用“同构法”构造新函数求解（主要是“指数”“对数”同构型函数问题），其常见形式有： （1）积型：的三种构造形式： ①型，构建函数； ②型，构建函数； ③型，构建函数. （2）商型：的三种构造形式为： ①型，构建函数； ②型，构建函数； ③型，构建函数. （3）已知和的关系式，适当构造新函数求解函数不等式或比较大小问题，常见类型有： ①型，构造函数 ②型，构造函数 ③型，构造函数 ④型，构造函数 ⑤型，构造函数 ⑥型，构造函数 ⑦型，构造函数 ⑧型，构造函数. 重难点题型突破 一、多元归一构造法 例1、（2023·广东湛江·统考二模）对于两个函数，与，若这两个函数值相等时对应的自变量分别为，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设，则，， 由，得，则，（）， 设函数，（），则，在上为增函数，且， 所以当时，，单调递减,当时，,单调递增. 故．故选 :B. 二、“同构法”构造新函数 例2、（2022·四川遂宁市·高三模拟）若，则的最大值为（ ） A． B． C． D． 【分析】首先对进行变形，即，由于左右“指”“对”同构，可构造函数，知在上单调递增，原不等式转化为，根据单调性的性质可得，再进行参变分离，求出函数最值， 即可得解. 【详解】原不等式化为，即， 令，知在上单调递增，原不等式转化为， 所以，即，设，则， 当时，，单调递减；当时，，单调递增， 故当时取得最小值，所以的最大值为.故选：C. 点睛：对于等式左右两边结构特征相同的问题可利用“同构法”构造新函数求解： （1）化为是“指”“对”同构型函数的常用变形技巧，注意掌握； （