第5章 微专题2 双变量问题-【优化探究】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第二册同步导学案配套PPT课件（人教A版）

微专题2　双变量问题 下页 上页 /人A数学/ 选择性必修 第二册 函数的双变量问题是近几年来高考试卷中“热门”试题之一，这类试题不仅形式多样，而且联系的知识面较广，构造思维要求较高，因此这类问题的解决方法也是多种多样的．在处理导数的综合题时，我们经常会遇到在某个范围内都可以任意变动的双变量问题，由于两个变量都在变，学生往往不知把哪个变量当成自变量进行研究，导致无法展开思路，无从下手，下面我们谈一谈这类问题的解题思路． 下页 上页 /人A数学/ 选择性必修 第二册 变更主元法 对于题目涉及的两个变元，已知其中一个变元在题设给定的范围内任意变动，求另外变元的取值范围问题，这类问题我们称之为“伪双变量”问题．这种“伪双变量”问题，往往会利用我们将字母x作为自变量的误区来进行设计．此时，我们变更主元思路，将另一个变量作为自变量，从而使问题得以解决，我们称这种方法为变更主元法． 下页 上页 /人A数学/ 选择性必修 第二册 [例1]　已知函数f(x)＝ex(sin x－ax2＋2a－e). (1)当a＝0时，讨论函数f(x)的单调性； 下页 上页 /人A数学/ 选择性必修 第二册 下页 上页 /人A数学/ 选择性必修 第二册 下页 上页 /人A数学/ 选择性必修 第二册 下页 上页 /人A数学/ 选择性必修 第二册 [例2]　已知函数f(x)＝ln x－ax＋b，其中a，b∈R. (1)讨论f(x)的单调性； 下页 上页 /人A数学/ 选择性必修 第二册 下页 上页 /人A数学/ 选择性必修 第二册 (2)若a＝1，b∈[0，2]，使得对任意的实数x∈[1，e]，恒有f(x)≥kx－x ln x－1成立，求k的取值范围． 下页 上页 /人A数学/ 选择性必修 第二册 下页 上页 /人A数学/ 选择性必修 第二册 下页 上页 /人A数学/ 选择性必修 第二册 下页 上页 /人A数学/ 选择性必修 第二册 下页 上页 /人A数学/ 选择性必修 第二册 下页 上页 /人A数学/ 选择性必修 第二册 (2)若对任意的a≤0，f(x)≤b ln (x＋1)在x∈[0，＋∞)上恒成立，求实数b的取值范围． 下页 上页 /人A数学/ 选择性必修 第二册 下页 上页 /人A数学/ 选择性必修 第二册 下页 上页 /人A数学/ 选择性必修 第二册 下页 上页 /人A数学/ 选择性必修 第二册 　双变量转化为单变量 对题目中出现的双变量通常有两种思路：一是通过整体代换变为只有一个变量的函数式；二是通过两个变量的关系引入新的变量，变成只有新变量的函数式． 下页 上页 /人A数学/ 选择性必修 第二册 角度一　同构法解决双变量问题 [例4]　已知函数f(x)＝kx(1－ln x)，其中k为非零实数． (1)求f(x)的极值； 下页 上页 /人A数学/ 选择性必修 第二册 [解]　(1)f(x)＝kx(1－ln x)，其中k为非零实数，f′(x)＝－k ln x，x>0. ①当k<0时，x∈(0，1)时，f′(x)<0，函数y＝f(x)单调递减；x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，函数y＝f(x)单调递增，所以，函数y＝f(x)有极小值f(1)＝k. ②当k>0时，x∈(0，1)时，f′(x)>0，函数y＝f(x)单调递增；x∈(1，＋∞)时，f′(x)<0，函数y＝f(x)单调递减，所以，函数y＝f(x)有极大值f(1)＝k. 综上所述，当k<0时，y＝f(x)有极小值f(1)＝k；当k>0时，y＝f(x)有极大值f(1)＝k. 下页 上页 /人A数学/ 选择性必修 第二册 (2)当k＝4时，在函数g(x)＝f′(x)＋x2＋2x的图象上任取两个不同的点M(x1，y1)，N(x2，y2).若当0<x1<x2<t时，总有不等式g(x1)－g(x2)≥4(x1－x2)成立，求正实数t的取值范围． 下页 上页 /人A数学/ 选择性必修 第二册 下页 上页 /人A数学/ 选择性必修 第二册 角度二　构造齐次式＋换元解决双变量问题 [例5]　已知函数f(x)＝ln x，g(x)＝ax－1(a∈R). (1)若方程f(x)－g(x)＝0存在两个不等的实根x1，x2，求a的取值范围； 下页 上页 /人A数学/ 选择性必修 第二册 下页 上页 /人A数学/ 选择性必修 第二册 下页 上页 /人A数学/ 选择性必修 第二册 下页 上页