第5章 微专题1 恒成立问题-【优化探究】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第二册同步导学案配套PPT课件（人教A版）

/人A数学！选择性必修第二册 上页下页 微专题1恒成立问题 /人A数学/选择性必修第二册 上页 下页 新课标下的高考越来越重视考查知识的综合应用，恒成立问题涉及方 程、不等式、函数性质与图象及它们之间的综合应用，同时渗透换元、 转化与化归、数形结合、函数与方程等思想方法，考查综合解题能力， 尤其是在函数、导数中体现得更为明显，也是历年高考的热点问题. /人A数学/选择性必修第二册 上页 下页 类型一不等式恒成立求参数范围 考点1分离参数 不等式恒成立问题优先考虑采用分离参数法求参数范围，分离参数时 需注意： 1.变量分离时，注意不等式的方向是否改变 2.变量分离后，需构造新函数，通过借助导函数，求出新构造函数的 最大（小）值；往往涉及二阶导数. /人A数学/选择性必修第二册 上页 下页 例1】已知函数)-+nx一1，a∈R (1)若y=fx)在P(1,yo)处的切线平行于直线y=一x十1，求函数y=fx) 的单调区间： 解]()f)=+nx-1, yw)=2+0, 由题意知，f'(1)=-a+1=-1, /人A数学/选择性必修第二册 上页下页 w=2,w-号+ 当x∈(0,2)时，f"x)<0,fc)单调递减； 当x∈(2，+o)时，f'x)>0,fx)单调递增， ,`fx)的单调递减区间为(0,2)，单调递增区间为(2，+) /人A数学/选择性必修第二册 上页 下页 (2)若a>0,且对x∈(0,2e]时，x)>0恒成立，求实数a的取值范围. 解](2)由题意知，当a>0且对x∈(0,2e]时，fx)>0恒成立， 即+lnx-I>0恒成立等价于a>x-xlnx恒成立. 令g(x)=x-xlnx, 'g(x)=1-(1+lnx)=-lnx. 令g)=0,得x=1, 当x∈(0,1)时，g'(x)>0,gx)单调递增； /人A数学/选择性必修第二册 上页 下页 当x∈(1,2e]时，g'x)<0,gx)单调递减， …g(x)max=g(1)=1, ∴.a>x一xlnx恒成立等价于a>g(x)max, .a>l. 故实数a的取值范围是(1，十∞) /人A数学/选择性必修第二册 上页 下页 [2]己知函裁风x)=一xlhx十x十1)，a∈R (1)求函数x)的单调区间： 解](1)由fx)=-xlnx+ax+1),得fx)的定义域为(0，+)， fx)=-(lnx+1)+a, 令f'x)=-(lnx+1)+a=0, 解得x=e, 由fx)>0,解得0<r<e,由fw)0,解得x>e, 故fc)的单调递增区间为(0，e),单调递减区间为(e,+∞)， /人A数学/选择性必修第二册 上页 下页 (2)若关于x的不等式x)≤2a在[2，+∞)上恒成立，求a的取值范围. 解](2)f)≤2a,∴u≤tlhx x-1) 令g=1≥2， x-1-Inx 则g')=( x-1)2, 令=n-x+1,则r=}1, /人A数学/选择性必修第二册 上页 下页 由t(x)>0,解得0<x<1,由t(x)0,解得x>1, 故x)在(0,1)上单调递增，在(1，+o)上单调递减，tx)max=(1)=0, .tx)≤0，所以lnx≤x-1, '…g'(x)≥0，gx)在P,+o)上单调递增，·gx)mim=g(2), .a≤g(2)=2ln2, .a的取值范围是(-∞，2ln2]