专题4.1 相似三角形重难点模型（1）（3大模型6种题型）-2023-2024学年九年级数学上册《重难点题型•高分突破》（北师大版）

专题4.1 相似三角形重难点模型（1）（3大模型6种题型） 【题型1：8字型】 【题型2：反8字型】 【题型3：平行类A字型】 【题型4：不平行A字型】 【题型5：直角三角形中射影定理】 【题型6：非直角三角形中射影定理】 【题型1：8字型】 【基本模型】 【典例1】（2023春•连平县期末）如图，在△ABC中，D是边AB上一点，E是边AC的中点，作CF∥AB交DE的延长线于点F． （1）证明：△ADE≌△CFE； （2）若AB＝AC，CE＝6，CF＝8，求DB的长． 【变式1-1】（2023春•萧县期末）（1）萧县某中学计划为学生暑期军训调配备如图（1）所示的折叠凳，这样设计的折叠凳坐着舒适、稳定．这种设计所运用的数学原理是 　 　； （2）图（2）是折叠凳撑开后的侧面示意图（木条等材料宽度忽略不计），其中凳腿AB和CD的长度相等，交点O是它们的中点，为了使折叠凳坐着舒适，厂家将撑开后的折叠凳宽度AD设计为38cm，则由以上信息可推得CB的长度是多少？请说明理由． 【变式1-2】（2022秋•文山市期末）如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点E，DB平分∠ADC，且AB2＝BE•BD．求证：△ABE∽△DCE． 【变式1-3】（2022秋•黄埔区期末）如图，已知AB⊥BC，EC⊥BC，垂足分别为B、C，AE交BC于点D，AB＝12，BD＝15，DC＝5，求EC的长． 【变式1-4】（2022秋•南开区校级期末）如图，在▱ABCD中，G是CD延长线上一点，连接BG交AC，AD于E，F． （1）求证：△ABE∽△CGE； （2）若AF＝2FD，求的值． 【变式1-5】（2022春•鼓楼区校级期末）如图AD与CE交于B，且． （1）求证：△ABC∽△DBE． （2）若AC＝8，BC＝6，BE＝3，求DE的长． 【变式1-6】（2022秋•昌平区期末）如图，矩形ABCD中，点P在边AD．上，PD＝2AP，连接CP并延长，交BA的延长线于点E，连接BD交CP于点Q． （1）写出图中两对相似的三角形（相似比不为1）　 ； （2）求的值． 【变式1-7】（2022秋•长安区校级月考）如图，已知AB∥EF∥CD，AC，BD相交于点E，EF：AB＝2：3． （1）若CE＝4，求AE的长； （2）若CD＝6，求AB的长； （3）若四边形ABFE的面积为8，直接写出△CEF的面积． 【变式1-8】（2022秋•覃塘区期中）如图，在平行四边形ABCD中，点E在AB边上，AE：EB＝2：3，DE交AC于点F． （1）求△AEF与△CDF周长之比； （2）如果△CDF的面积为20，△ADF的面积为8，求四边形BEFC的面积． 【变式1-9】（2023•兴宁区校级模拟）【模型启迪】 （1）如图1，在△ABC中，D为BC边的中点，连接AD并延长至点H，使DH＝AD，连接BH，则AC与BH的数量关系为 　AC＝BH　，位置关系为 　AC∥BH　； 【模型探索】 （2）如图2，在△ABC中，D为BC边的中点，连接AD，E为AC边上一点，连接BE交AD于点F，且BF＝AC．求证：AE＝EF； 【模型应用】 （3）如图3，在（2）的条件下，延长AC至点N，使AN＝AB，连接BN，交AD的延长线于点M．若AB＝7，AC＝5，DM＝，求线段AD的长． 【变式1-10】（2023•上城区二模）如图，在△ABC中，AB＝AC，BC恰好是∠ABD的角平分线． （1）求证：△APC∽△DPB； （2）若AP＝BP＝1，AD＝CP，求DP的长． 【变式1-11】（2023•崇明区二模）已知：如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于E，M是边DC延长线上的一点，联结AM，与边BC交于F，与对角线BD交于点G． （1）求证：AG2＝GF•GM； （2）联结CG，如果∠BAG＝∠BCG，求证：平行四边形ABCD是菱形． 【题型2：反8字型】 【基本模型】 【典例2】（2023春•清城区期中）已知Rt△ABC和Rt△ABD中，∠ACB＝∠ADB＝90°，且CA＝CB． （1）求证：∠CAD＝∠CBD； （2）如图1，当点C和点D在AB的同侧时，求∠ADC的度数； （3）如图2，当点C和点D在AB的异侧时，△CBD绕点C顺时针旋转90°得△CAE，此时D、A、E三点共线．请判断AD、BD与CD三条线段的数量关系，并说明理由． 【变式2-1】（2023•麒麟区一模）已知，如图，AD与BC相交于点O，∠A＝∠C，AB＝CD，求证：AD＝BC． 【变式2-2】（2023•新吴区二模）如图，正方形ABCD的边长为1，点F在CD边上，延长AD到点E，使得DE＝D