专题4.2 相似三角形重难点模型（2）（2大模型5种题型）-2023-2024学年九年级数学上册《重难点题型•高分突破》（北师大版）

专题4.2 相似三角形重难点模型（2）（2大模型5种题型） 【题型1：一线三等角-标准“K”型图-】 【题型2：一线三等角-做辅助线构造“K”型图】 【题型3：一线三等角-特殊“K”型图】 【题型4：手拉手模型-有公共顶点的直角三角形】 【题型5：手拉手模型-有公共顶点的任意三角形】 【模型1】 1. 如图，∽（一线三等角） 如图，∽（一线三直角） 如图，特别地，当是中点时：∽∽平分，平分。 2. 一线三等角辅助线添加：一般情况下，已知一条直线上有两个等角（直角）或一个直角时，可构造“一线三等角”型相似。 【模型2】 类型一：有公共顶点的直角三角形 类型二：有公共顶点的任意三角形 【题型1：一线三等角-标准“K”型图】 【典例1】（2023•梁溪区校级二模）如图，以矩形OABC的顶点O为坐标原点，OA所在直线为x轴，OC所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，已知OA＝3，OC＝4，将矩形OABC绕点O逆时针方向旋转α（ 0＜α＜180° ）得到矩形ODEF． （1）当点E恰好落在y轴上时，如图1，求点E的坐标； （2）当点D恰好落在矩形OABC的对角线上时，求点E的坐标； （3）在旋转过程中，点M是直线OD与直线BC的交点，点N是直线EF与直线BC的交点，若 ，请直接写出点N的坐标． 【变式1-1】（2022秋•武侯区期末）为了测量成都熊猫基地观光瞭望塔“竹笋”建筑物AB的高度，小军同学采取了如下方法：在地面上点C处平放一面镜子，并在镜子上做一个标记，然后人向后退，直至站在点D处恰好看到建筑物AB的顶端A在镜子中的像与镜子上的标记重合（如图所示）．其中B，C，D三点在同一条直线上．已知小军的眼睛距离地面的高度ED的长约为1.75m，BC和CD的长分别为40m和1m，求建筑物AB的高度．（说明：由物理知识，可知∠ECF＝∠ACF） 【变式1-2】（2023•殷都区一模）如图，O是直线MN上一点，∠AOB＝90°，过点A作AC⊥MN于点C，过点B作BD⊥MN于点D． （1）求证：△AOC∽△OBD； （2）若OA＝5，OC＝OD＝3，求BD的长． 【变式1-3】（2023春•淄博期末）如图，AB⊥BC，DC⊥BC，E是BC上一点，使得AE⊥DE； （1）求证：△ABE∽△ECD； （2）若AB＝4，AE＝BC＝5，求CD的长； （3）当△AED∽△ECD时，请写出线段AD、AB、CD之间数量关系，并说明理由． 【变式1-4】（2023春•鼓楼区校级期末）如图，已知AB⊥BD，ED⊥BD，C是线段BD的中点，且AC⊥CE，ED＝1，BD＝4． （1）求证：△ABC∽△CDE； （2）求AB的长． ​ 【变式1-5】（2023•东平县三模）如图，在矩形ABCD中，E是BC上的一点，DE平分∠FDC，∠FED＝90°，F是AB上一点，G是FD的中点． （1）求证：BE＝EC； （2）求证：DE2＝DF•DC； （3）若CD＝6，DF＝8，求GH的长． 【变式1-6】（2023•鄞州区校级三模）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠B＝90°，AB＝4，CD＝2，BC＝m，P为线段BC上一动点，且和B、C不重合，连结PA，过P作PE⊥PA交CD所在直线于E． （1）请找出一对相似三角形，并说明理由； （2）若点P在线段BC上运动时，点E总在线段CD上，求m的取值范围． 【题型2：一线三等角-做辅助线构造“K”型图】 【典例2】（2023•武汉模拟）点C在AB的延长线上，且∠DAB＝∠DBE． （1）如图（1），若∠C＝∠A，求证：△DAB∽△BCE； （2）如图（2），若CE∥AD，∠C＝45°，若，则的值为 　　；（直接写出） （3）如图（3），连接AE，若△DAB∽△DBE，，求证：AE＝2BD． 【变式2-1】（2022秋•桥西区期末）在△ABC中，∠ABC＝90°． （1）如图1，直线l经过点B，过点A作AD⊥l于点D，过点C作CE⊥l于点E，求证：△ABD∽△BCE； （2）如图2，点D，E是l上的两点，连接AD，CE，∠ADB＝∠BEC＝45°，AD＝，CE＝4，BD＝3，求的值． 【变式2-2】（2023•镇海区校级一模）如图，在△ABC中，，D，M，N分别在直线AB，直线AC，直线BC上． （1）若D是AB中点，∠MDN＝∠A+∠B，求； （2）若点D，M，N分别在AB，CA，CB的延长线上，且，∠MDN＝∠ACB，求． 【题型3：一线三等角-特殊“K”型图】 【典例3】（2023•武昌区模拟）【问题背景】（1）如图1，点B，C，D在同一直线上，∠B＝∠ACE＝∠D，求证：△ABC∽△CDE； 【问题探究】（2）在（1）条件下，若点C为BD的中点，求证：AC2＝AB•AE；