专题二 旋转中的几何模型（角含半角模型）-2023-2024学年九年级数学上册同步讲义+强化训练堂堂清（人教版）

九年级数学上分层优化堂堂清 二十三章 旋转 专题二 旋转中的几何模型 模型一　角含半角模型 模型特征：角含半角模型，顾名思义即一个角包含着它的一半大小的角。它主要包含：等腰直角三角形角含半角模型；正方形中角含半角模型两种类型。 解决类似问题的常见办法主要有两种：旋转目标三角形法和翻折目标三角形法。 【典例1-1】综合与实践：如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别为DC，BC边上的点，且满足，连接EF，求证：． 李伟同学是这样解决的： 将绕点A顺时针旋转90°得到，此时AB与AD重合，再证明，可得结论． (1)如图2，在四边形ABCD中，，，，且，，求BE的长； (2)类比（1）证明思想完成下列问题：在同一平面内，将两个全等的等腰直角三角形ABC和AFG摆放在一起，A为公共顶点，，若固定不动，绕点A旋转，AF、AG与边BC的交点分别为D、E（点D不与点B重合，点E不与点C重合），在旋转过程中，等式始终成立，请说明理由． 【典例1-2】如图，中，，，点、在边上，，将绕点顺时针旋转得． (1)求证：； (2)连接，求证：； (3)若，，则______，四边形的面积＝______． 针对训练1 1 .如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，且∠EAF＝45°，分别连接EF、BD，BD与AF、AE分别相交于点M、N （1）求证：EF＝BE+DF 为了证明“EF＝BE+DF”，小明延长CB至点G，使BG＝DF，连接AG，请画出辅助线并按小明的思路写出证明过程． （2）若BE＝2，DF＝3，请求出正方形ABCD的边长． （3）请直接写出线段BN、MN、DM三者之间的数量关系 2 .如图1，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF＝BE． （1）求证：CE＝CF； （2）在图1中，若G在AD上，且∠GCE＝45°，则GE＝BE+GD成立吗？为什么？ （3）根据你所学的知识，运用（1）、（2）解答中积累的经验，完成下列各题： ①如图2，在四边形ABCD中，AD∥BC（BC＞AD），∠B＝90°，AB＝BC＝6，E是AB的中点，且∠DCE＝45°，求DE的长； ②如图3，在△ABC中，∠BAC＝45°，AD⊥BC，BD＝4，CD＝6，则△ABC的面积为　60　（直接写出结果，不需要写出计算过程）． 拓展类型　构造旋转模型解题 方法指导：若一个图形中含有相等的线段和特殊的角度，通常是以等线段的公共端点为旋转中心进行旋转，使得相等的边重合，得出特殊的图形． 【典例2-1】请阅读下列材料： 问题：如图1，在等边△ABC内有一点P，且PA＝2，PB＝，PC＝1，求∠BPC的度数和等边△ABC的边长． 李明同学的思路是：将△BPC绕点B逆时针旋转60°，画出旋转后的图形(如图2)，连接PP′，可得△P′PB是等边三角形，而△PP′A又是直角三角形(由勾股定理的逆定理可证)，所以∠BPC＝∠AP′B＝150°，进而求出等边△ABC的边长为，问题得到解决． 请你参考李明同学的思路，探究并解决下列问题：如图3，在正方形ABCD内有一点P，且PA＝，BP＝，PC＝1.求∠BPC的度数和正方形ABCD的边长． 【典例2-2】如图1，点G是正方形ABCD对角线CA的延长线上任意一点，以线段AG为边作一个正方形AEFG，线段EB和GD相交于点H． （1）求证：EB=GD且EB⊥GD； （2）若AB=2，AG=，求的长； 针对训练2 1 .以△ABC的AB、AC为边作△ABD和△ACE，且AE＝AB，AC＝AD，CE与BD相交于M，∠EAB＝∠CAD＝α． （1）如图1，若α＝40°，求∠EMB的度数； （2）如图2，若G、H分别是EC、BD的中点，求∠AHG的度数（用含α式子表示）； （3）如图3，连接AM，直接写出∠AMC与α的数量关系是　 　． 2 .在△ABC中，∠BAC=90°，AC=AB，点D为直线BC上的一动点，以AD为边作△ADE（顶点A､D､E按逆时针方向排列），且∠DAE=90°，AD=AE，连接CE． （1）如图1，若点D在BC边上（点D与B､C不重合）， ①求证：△ABD≌△ACE； ②求证： （2）如图2，若点D在CB的延长线上，若DB=5，BC=7，则△ADE的面积为____． （3）如图3，若点D在BC的延长线上，以AD为边作等腰Rt△ADE，∠DAE=90°，连结BE，若BE=10，BC=6，则AE的长为______． 巩固练习 1 .已知在△ABC中，BC=4。 （1）如图，将边AC、AB同时绕点A分别逆时针、顺时针方向旋转a°，得AD、AE，连接BD、CE，求证：BD=CE； （2）如图，若∠ABC=60°，AB=1，将边AC绕点A逆时针旋转120°，得AD，连接BD，求BD