1.1.1空间向量的概念及其线性运算教学设计-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

高中数学课时教学设计 课题名称 1.1空间向量及其线性运算 课时 2 授课人 白那日松 教学目 标 1.经历由平面向量推广到空间向量的过程，了解空间向量的概念 2.经历由平面向量的运算及其法则推广到空间向量的过程 3.了解共面向量的概念，并会判断方法 目标解析 1.能用类比平面向量的概念，给出空间向量的概念，明确空间向量的两个要素。 2.类比平面向量的运算律理解空间向量的运算律。 3.能类比向量的共线通过复习平面向量基本定理得到共面向量的概念。 教学重点 1.本章内容整体框架的构建； 2.空间向量的相关概念； 3.空间向量的线性运算及其运算律的验证； 4.空间向量共线、共面的充要条件. 教 学 难点 1. 从平面向量推广到空间向量的合理性和严谨性验证； 2. 空间向量加法结合律的证明. 教学过程 教师活动与任务设计 学生学习活动与任务解决 设计意图或评价目标 环节一：通过“平面向量及其应用”的学习，我们知道，平面内的点、直线可以通过平面向量及其运算来表示，它们之间的平行、垂直、夹角、距离等关系可以通过平面向量运算而得到，从而有关平面图形的问题可以利用平面向量的方法来解决.在“立体几何初步”中，我们用综合几何方法研究了空间几何体的结构特征以及空间点、直线、平面的位置关系. 环节二：抽象概念，内涵辨析 1. 回顾旧知，类比得到空间向量的相关概念 2.类比平面向量，理解空间向量的线性运算 3.推广运算律，理解与平面向量的异同点 3. 利用空间向量的运算研究空间向量的位置关系 环节三：例题练习，巩固理解 任务一：能否把平面向量推广到空间向量，从而利用空间向量表示空间中点、直线、平面等基本元素，通过空间向量运算解决立体几何问题? 追问 1：你能举几个空间向量的例子吗? 追问 2：你能类比平面向量及其运算的研究过程，说说本章我们将学习哪些内容、用到哪些研究方法. 教师总结：在本章的学习中，我们要注意利用类比的方法进行研究，研究内容主要有：空间向量的概念、运算、基本定理及其坐标表示；体会推广的合理性和严谨性；利用空间向量表示空间中的几何元素并解决位置、度量等立体几何问题. 任务二：请同学们回顾平面向量的概念及表示，类比给出空间向量的概念及表示. 平 面 空间 概念 表示 看大小 看方向 既看大小 又看方向 追问 ：从空间向量的相等概念出发，你对共线向量、平行向量有什么认识?任给两个向量，它们一定共面吗，为什么? 任务3：数学中，引进一种量后，一个很自然的问题就是要研究它的运算.你认为空间向量的线性运算与平面向量的线性运算有什么关系，为什么? 你能类比平面向量的线性运算给出空间向量的加法、减法以及数乘运算的定义吗? 平 面 空 间 加法 减法 数乘 追问：向量线性运算的结果，与向量起点的选择有关系吗? 任务4：类比平面向量的研究过程，我们知道，定义了一种运算就要研究它的运算律.你能类比平面向量线性运算的运算律猜想空间向量线性运算的运算律吗? 追问1 你能证明这些运算律吗? 追问2 经历了上面的研究过程，你能总结出空间向量加法的性质吗? 任务5：有了空间向量的线性运算及其运算律，我们就可以通过向量运算研究空间向量的位置关系.对于空间向量的位置关系，你能提出哪些问题?得出哪些结论? 追问1 你能类比平面向量共线的充要条件，给出空间向量共线的充要条件并进行证明吗? 追问2 设a是一个非零向量.空间中与a平行的直线有多少条? 要使平行于向量a的直线唯一确定，还需要增加什么条件? 任务6 类比平面内两个向量共线的充要条件，你能研究一下三个空间向量共线或共面的充要条件吗? 追问1 如果三个空间向量共线，那么它们的方向是什么关系? 追问2 如果三个不共线向量共面，那么它们有什么关系? 追问3 你有兴趣研究一下三个向量不共面的充要条件吗? 这是一个具有挑战性的问题，哪些同学敢于迎接挑战? 请你们课下研究一下. 教科书例1 学生阅读章引言，师生共同归纳. 师生共同举例说明，联想用平面向量解决物理问题的方法，体会平面向量推广到空间向量的必要性. 从类比平面向量的研究方法、研究过程和研究框架出发，明确本单元的研究主题和研究框架. 首先让学生回忆平面向量的概念，师生共同画出表格并完成表格的左侧部分，然后通过小组合作，完成表格右侧部分. 教师引导学生共同归纳出以下几点体会：第一，空间向量是自由的，可以将它们在空间中进行平移；第二，因为向量可以平移，所以共线向量和平行向量本质相同；第三，空间任意两个向量，都可以平移到同一个平面内；第四，涉及空间两个向量的问题，平面向量中的有关结论仍适用. 首先让学生回忆平面向量的