第三章 圆锥曲线与方程（知识归纳+题型突破）-2023-2024学年高二数学单元速记·巧练（苏教版2019选择性必修第一册）

第三章 圆锥曲线与方程（知识归纳+题型突破） 1．掌握椭圆的定义及椭圆的标准方程． 2．会用定义法、待定系数法和相关点法求椭圆的标准方程． 3．掌握简单的椭圆的几何性质． 4．掌握直线与椭圆的位置关系及其应用． 5．了解双曲线的实际背景，经历从具体情境中抽象出双曲线的过程，双曲线标准方程的推导过程． 6．掌握双曲线的定义、标准方程及几何图形． 7．理解双曲线的简单几何性质(范围、对称性、顶点、渐近线、离心率)． 8．能用双曲线的简单几何性质解决问题． 9．了解抛物线的定义及焦点、准线的概念． 10．掌握抛物线的标准方程及其推导过程． 11．理解抛物线的简单几何性质． 1．椭圆的定义 平面内到两个定点F1，F2的距离之和等于常数(大于F1F2)的点的轨迹叫作椭圆，两个定点F1，F2叫作椭圆的焦点，两个焦点间的距离叫作椭圆的焦距． （1）对定义中限制条件“两个定点”的理解 椭圆定义中的两个定点F1，F2是指不重合的两点，当F1与F2重合时，相应点的集合是圆． （2）对定义中限制条件“常数(大于F1F2)”的理解 条件 结论 2a＞F1F2 动点的轨迹是椭圆 2a＝F1F2 动点的轨迹是线段F1F2 2a＜F1F2 动点不存在，因此轨迹不存在 （3）定义的双向运用 一方面，符合定义中条件的动点的轨迹为椭圆；另一方面，椭圆上所有的点一定满足定义的条件(即到两焦点的距离之和为常数)． 2．椭圆的标准方程 焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准方程 ＋＝1(a＞b＞0) ＋＝1(a＞b＞0) 图形 焦点坐标 F1(－c,0)，F2(c,0) F1(0，－c)，F2(0，c) a，b，c的关系 c2＝a2－b2 （1）椭圆标准方程中参数a，b的几何意义 标准方程中的两个参数a，b确定了椭圆的形状和大小，这是椭圆定形的条件，a，b，c三个量满足a2＝b2＋c2，恰好是一个直角三角形的三条边长，我们把如图所示的直角三角形F2OM称为椭圆的“特征三角形”．椭圆的特征三角形清晰地反映了参数a，b，c的几何意义． （2）椭圆的焦点位置 椭圆的焦点在x轴上⇔标准方程中含x2项的分母较大；椭圆的焦点在y轴上⇔标准方程中含y2项的分母较大．因此由椭圆的标准方程判断椭圆的焦点位置时，要根据方程中分母的大小来判断，简记为“焦点位置看大小，焦点随着大的跑”． 3．与椭圆焦点三角形有关的常用公式 (1)焦点三角形的周长L＝2a＋2c． (2)在焦点三角形MF1F2中，由余弦定理可得F1F＝MF＋MF－2MF1·MF2cos∠F1MF2． (3)设椭圆上任一点M(xM，yM)，焦点三角形的面积S△F1MF2＝c|yM|＝MF1·MF2·sin∠F1MF2＝b2tan． 4．椭圆的范围、对称性、顶点 焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 ＋＝1(a＞b＞0) ＋＝1(a＞b＞0) 范围 －a≤x≤a，－b≤y≤b －b≤x≤b，－a≤y≤a 顶点 A1(－a,0)，A2(a,0)，B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b,0)，B2(b,0) 轴长 短轴长＝2b，长轴长＝2a 焦点 (±c,0) (0，±c) 焦距 |F1F2|＝2c 对称性 对称轴：x轴、y轴　对称中心：原点 (1)椭圆的范围实质是椭圆上点的横坐标、纵坐标的取值范围．由于椭圆方程中两个非负数的和等1，所以椭圆上任一点的坐标适合不等式≤1，即－a≤x≤a，同理有≤1，即－b≤y≤b，这说明椭圆位于直线x＝±a和y＝±b所围成的矩形框里． (2)椭圆的一个焦点、中心和短轴的一个端点构成一个直角三角形，其三边长满足关系式：a2＝b2＋c2． 5．椭圆的离心率 椭圆的焦距与长轴长的比称为椭圆的离心率．用e表示，即e＝． (1)椭圆离心率e的取值范围是(0,1)，椭圆的离心率刻画了椭圆的“扁平程度”，离心率e越大，椭圆越扁平，离心率e越小，椭圆越接近于圆．当且仅当a＝b，c＝0时，两个焦点重合，椭圆就变为圆，它的方程为x2＋y2＝a2． (2)椭圆离心率是焦距与长轴长的比，也可以形象的理解为在椭圆的长轴长不变的前提下，两个焦点离开中心的程度．由椭圆的定义，椭圆的离心率e一般有以下几种表达方式： ①e＝＝cos α； ②e＝＝； ③e＝＝； ④e＝＝(如图)． 6．直线与椭圆的位置关系及判定 一般，联立直线y＝kx＋m与椭圆＋＝1(a＞b＞0)的方程，得消去y，得一个一元二次方程． 位置关系 解的个数 Δ的取值 相交 __2__ Δ＞0 相切 __1__ Δ＝0 相离 __0__ Δ＜0 7．点与椭圆的位置关系 点P(x0，y