24.2 比例线段（讲+练，六大题型）-【划重点】2023-2024学年九年级数学上册同步讲与练（沪教版）

24.2 比例线段 学习目标：1、知道两条线段比的意义； 2、理解比例线段及其有关概念； 3、知道比例线段的性质，能运用比例线段的性质对进行简单的变形。 重点：引进两条线段的比和比例线段；导出比例线段的性质并进行初步的运用。 难点：合比、等比性质的综合运用。 知识点一 比和比例 1.比 （1）比的意义：两个数与相除叫做两个数的比，记作，若的比值为，则； （2）比的基本性质：比的前项和后项同时乘或同时除以相同的数（0除外），比值不变. 2.比例 （1）比例的意义：表示两个比相等的式子叫做比例，(或），那么就说成比例，这个比例式可变形为等积式，还可变形为比例式 （2）比例中项：如果比例的两个内项相等 （3）比例的基本性质：两个内项的积等于两个外项的积. 即学即练1（2022秋·上海松江·九年级校考期中）已知点C是线段上的一个点，且是和的比例中项，则下列式子成立的是（　　） A． B． C． D． 即学即练2下列各组中的四条线段成比例的是（    ） A． B． C． D． 知识点二 线段的比 两条线段长度的比叫做两条线段的比. 即学即练1 已知线段a＝0.3m，b＝60cm，c＝12dm． （1）求线段a与线段b的比． （2）如果线段a、b、c、d成比例，求线段d的长． （3）b是a和c的比例中项吗？为什么？ 即学即练2（2022秋·上海浦东新·九年级校考期中）已知点是线段上的一点，且，如果，那么 ． 知识点三 比例线段 1.线段成比例的定义 对于四条线段,如果其中两条线段的比(即它们长度的比)与另两条线段的比相等,如(即)，我们就说这四条线段成比例. 2. 比例的相关性质 (1)比例的基本性质 当时,则；(两内项之积等于两外项之积) 若(),则，简记为“前:后=后:前”. (2) 比例的其他性质 ①合比性质:若,则或(,均不为0) ②分比性质:若,则或(,均不为0) ③更比性质:若,则或(均不为0) ④等比性质:若,则=() 即学即练1 （2022秋·上海奉贤·九年级校联考期中）已知：，，求代数式的值． 即学即练2 （2022秋·上海嘉定·九年级统考期中）已知：，且，求的值． 知识点四 黄金分割 如果点把线段分割成和（）两段（如下图），其中是和的比例中项，那么称这种分割为黄金分割，点称为线段的黄金分割点．其中，，称为黄金分割数，简称黄金数． 即学即练1 （2022秋·上海奉贤·九年级校联考期中）如果点是线段的黄金分割点且，那么下列结论错误的为（   ） A． B．是和的比例中项 C． D． 即学即练2 已知点C在线段AB上，且满足． (1)若AB=1，求AC的长； (2)若AC比BC大2，求AB的长． 题型一 利用比例的性质求值 例1（2023·上海嘉定·模拟预测）已知：，则 ． 举一反三1（2022秋·上海徐汇·九年级校考阶段练习）已知：线段，且． (1)求的值； (2)如果线段，满足，求的值． 举一反三2已知：线段a、b、c，且． （1）求的值； （2）如线段a、b、c满足3a﹣4b+5c＝54，求a﹣2b+c的值． 题型二 利用比例的性质求比或比例 例2（2022秋·上海浦东新·九年级校考期中）已知、是不等于0的实数，，那么下列等式中正确的是（    ） A． B． C． D． 举一反三1（2022秋·上海徐汇·九年级校联考期中）如果（、均不为零），那么的值是（    ） A． B． C． D． 举一反三2（2022秋·上海青浦·九年级校考期中）已知，那么等于（    ） A．3:5 B．5:3 C．2:3 D．3:2 题型三 比例尺 例3（2022秋·上海浦东新·九年级统考期末）某两地的距离为3000米，画在地图上的距离是15厘米，则地图上的距离与实际距离之比是（    ） A．1∶200 B．1∶2000 C．1∶20000 D．1∶200000 举一反三1（2022秋·上海金山·九年级统考期末）在比例尺是的地图上，两地的距离是，那么这两地的实际距离为（    ） A． B． C． D．． 举一反三2（2022秋·上海宝山·九年级统考期末）在比例尺为的地图上，如果两地的距离是10厘米，那么这两地的实际距离是（    ） A．50000米 B．5000米 C．500米 D．50米 题型四 比例中项 例4（2023·上海宝山·一模）已知线段，，如果线段是、的比例中项，那么 ． 举一反三1（2022秋·上海青浦·九年级校考期中）已知点P把线段分割成和（）两段，如果是和的比例中项，那么的值等于 ． 举一反三2（2022秋·上海宝山·九年级统考期末）如果，且是和的比例中项，那么等于（    ） A． B． C． D． 题型五 成比例线段 例5（2022