2.2.1&2.2.2 直线的点斜式方程、直线的两点式方程 精讲（6大题型）-【题型分类归纳】2023-2024学年高二数学同步讲与练（人教A版2019选择性必修第一册）

2.2.1&2.2.2 直线的点斜式方程、直线的两点式方程 重点：1、会求直线的点斜式方程、斜截式方程；2、会求直线的两点式和截距式方程； 难点：对几种直线方程形式的灵活运用。 一、直线的点斜式方程 1、定义：如图，直线过定点，斜率为， 把直线叫做直线的点斜式方程，简称点斜式。 2、两种特殊的直线： （1）垂直于轴的直线：如图，过定点，倾斜角为90°， 斜率不存在，没有点斜式，其方程为或. （2）平行于轴（或与轴重合）的直线：如图，过定点， 倾斜角为0°，斜率为0，其点斜式方程为. 3、求直线点斜式方程的一般步骤： （1）求直线点斜式的步骤为：定点定斜率写出方程 （2）点斜式方程可表示过点的所有直线，但除外。 二、直线的斜截式方程 1、定义：如图，直线的斜率为，且与轴的交点为， 则直线叫做直线的斜截式方程，简称斜截式。 【注意】（1）直线的斜截式是直线点斜式的特例。 （2）一条直线与轴的交点为的纵坐标叫做直线在轴上的截距， 特别的，倾斜角为直角的直线没有斜截式方程。 2、斜截式的几种特例 表示过原点的直线 ， 表示与轴平行的直线 ， 表示轴 三、直线的两点式方程 1、定义：如图，直线经过点，（其中，）， 则方程叫做直线的两点式方程，简称两点式。 【注意】（1）与坐标轴垂直的直线没有两点式方程。 （2）将两点式方程变形为：，可以表示任何直线。 2、两点式方程的应用 用两点式返程写出直线的方程时，要特别注意横坐标相等或者纵坐标相等时，不能用两点式。 已知直线上的两点坐标，也可先求出斜率，再利用点斜式写出直线方程。 四、直线的截距式方程 1、定义：如图，直线与两坐标轴的交点分别是，（其中，），则方程，叫做直线的截距式方程，简称截距式。 【注意】截距式方程只能表示在轴、轴上的截距都存在且不为0的直线。 因此截距式不能表示过原点的直线、与轴垂直的直线、与轴垂直的直线。 2、截距的概念 （1）横截距：直线与轴交点的横坐标。在直线方程中，令，解出的值即可； （2）纵截距：直线与轴交点的横坐标。在直线方程中，令，解出的值即可。 3、截距式方程应用的注意事项 （1）问题中涉及直线与坐标轴相交，则可考虑截距式方程，用待定系数法确定其系数即可； （2）选用截距式方程时，必须首先考虑直线能否过原点以及能否与两坐标轴垂直； （3）要注意截距式方程的逆向应用。 五、线段中点坐标公式 若点，的坐标分别为，，且线段的中点M的坐标为， 则. 题型一 直线的点斜式方程 【例1】（2023秋·甘肃临夏·高二校考期末）直线经过点，倾斜角为，则直线方程为（ ） A． B． C． D． 【变式1-1】（2023·全国·高二专题练习）过点且斜率为3的直线方程为（ ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2023秋·高二课时练习）求经过点，倾斜角是直线倾斜角的2倍的直线的点斜式方程． 【变式1-3】（2022秋·贵州贵阳·高二清华中学校考阶段练习）的三个顶点、、，则边上的中线所在直线方程为（ ） A． B． C． D． 题型二 直线的斜截式方程 【例2】（2022秋·新疆昌吉·高二统考期中）已知直线经过点，斜率为，则直线方程是（ ） A． B． C． D． 【变式2-1】（2023·全国·高二专题练习）直线的倾斜角为（ ） A． B． C． D． 【变式2-2】（2023·全国·高二专题练习）直线l：绕着点逆时针旋转与直线重合，则的斜截式方程是 . 【变式2-3】（2023·全国·高二专题练习）根据条件写出下列直线的斜截式方程： （1）斜率为2，在y轴上的截距是5； （2）倾斜角为150°，在y轴上的截距是－2； （3）倾斜角为60°，与y轴的交点到坐标原点的距离为3. 题型三 直线的图象辨析 【例3】（2022秋·江苏苏州·高二苏州中学校考期末）直线不经过（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式3-1】（2023·全国·高二专题练习）若直线经过第一、二、四象限，则有（ ） A．， B．， C．， D．， 【变式3-2】（2022秋·江苏扬州·高二邵伯高级中学校考期中）直线可能是（ ） A． B． C． D． 【变式3-3】（2023·全国·高二专题练习）已知，，则下列直线的方程不可能是的是（ ） A． B． C． D． 题型四 直