2.4 线段、角的轴对称性(3) 课件 2023—2024学年苏科版数学八年级上册

2.4　线段、角的对称性（3） ——角平分线的性质 八年级(上册) 初中数学 1、线段的轴对称性 ■复习： 2、线段垂直平分线的性质定理 线段是轴对称图形，有两条对称轴，分别为:线段的垂直平分线和线段本身所在的直线. 线段垂直平分线上的点到线段两端点距离相等. 3、线段垂直平分线的判定定理 4.用尺规作线段的垂直平分线 到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上. 复习提问 1、角平分线的概念 一条射线 把一个角 分成两个相等的角， 这条射线叫做这个角的平分线。 o B C A 1 2 在一张薄纸上画 ∠AOB，操作并思考： 它是轴对称图形吗？ 它的对称轴是？ 思考 O A B 角是轴对称图形，对称轴是角平分线所在的直线. 复习提问 2、点到直线距离: 从直线外一点 到这条直线的垂线段 的长度， 叫做点到直线的距离。 O P A B 线段的长度 www.czsx.com.cn 已知：如图，OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D，E。 求证：PD=PE 证明：∵ PD⊥OA，PE⊥OB（已知） ∴∠PDO=∠PEO=90（垂直的定义） 在△PDO和△PEO中 ∴ PD=PE（全等三角形的对应边相等） ∠ PDO= ∠ PEO ∠ AOC= ∠ BOC OP=OP ∴ △ PDO≌△ PEO（AAS） 角平分线上的点到角两边的距离相等 D P E A O B C 角平分线的性质定理 1.文字语言：角平分线上的点到角两边的距离相等 3.符号语言： A O B P E D ∵OC平分∠AOB，PD ⊥OA ，PE ⊥OB ∴PD=PE 三个必须全写，缺一不可。 2.基本图形： C 强调 B A D O P E C 定理应用所具备的条件： （1）角的平分线； （2）点在该平分线上； （3）垂直距离。 定理的作用： 证明线段相等。 www.czsx.com.cn ∵ 如图，AD平分∠BAC（已知） ∴ = ( ) 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。 BD CD （×） 判断： ∵ 如图， DE⊥AC，DF⊥AB （已知） ∴ = ，( ) 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。 DE DF （×） 判断： B A C D E F ∵ AD平分∠BAC, DC⊥AC，DB⊥AB （已知） ∴ = ，（ ） DB DC 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。 √ 不必再证全等 判断： 三个必须全写，缺一不可。 我们已经知道： 线段的垂直平分线性质定理——线段的垂直平分线上的点到线段两端的距离相等； 反过来，得到线段的垂直平分线判定定理——到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上。 类似地，角平分线的性质定理——角平分线上的点到角的两边距离相等； 反过来，你能提出什么猜想？ 　　角的内部一点到角两边的距离相等，那么这个点在这个角的角平分线上吗？ 想一想 O A B Q D E 　　如图，若点Q在∠AOB内部， QD⊥OA，QE⊥OB，且QD＝QE，点Q在∠AOB的角平分线上吗？为什么？ 通过上述研究，你得到了什么结论？ 角平分线的判定定理 1.文字语言：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上. 3.符号语言： A O B P E D ∵PD=PE , PD⊥OA，PE⊥OB ∴ 点P在∠AOB 的平分线上 （或写成 OP平分∠AOB） 三个必须全写，缺一不可。 2.基本图形： C 例1 在△OAB中，OE是它的角平分线，且EA=EB，EC、ED分别垂直OA，OB，垂足为C，D.求证：AC=BD. 例题讲解 练习 在△ABC中， ∠ C=90 ° ，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB，BC＝7，DE＝3，求BD的长. 例2 如图，△ABC的角平分线BM、CN相交于点P. 求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等. 证明：过点P作PD 、PE、PF分别垂直于 AB、BC、CA，垂足为D、E、F ∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上 ∴PD=PE 同理可得PE=PF ∴PD=PE=PF 即点P到边AB、BC、 CA的距离相等 A B C M N P D E F 怎样找三角形内到三角形三边距