4.4 一次函数的应用 （第一课时）导学案 2023—2024学年北师大版数学八年级上册

4.4 一次函数的应用 （第一课时） 【学习目标】 1、了解两个条件可确定一次函数；能根据所给信息（图象、表格、实际问题等）利用待定系数法确定一次函数的表达式；并能利用所学知识解决简单的实际问题． 2、掌握用待定系数法求一次函数的表达式，进一步发展数形结合的思想方法； 【学习重难点】 重点：根据所给信息，利用待定系数法确定一次函数的表达式． 难点：在实际问题情景中寻找条件，确定一次函数的表达式． 【学习方法】自主探究与小组合作 【学习过程】 模块一 预习反馈 一、学习准备 1、若两个变量x、y间的对应关系可以表示成： （k,b为常数，k 0）的形式，则y是x的 （x是自变量，y是因变量）。特别地，当b=0时，称y是x的 。 2、作一个函数的图象需要三个步骤： 、 、 。 3、一次函数y=kx+b，图象是经过 的一条 。当k＞0时，图象经过第 象限，y随x的增大而 ；当k＜0时，图象经过第 象限，y随x的增大而 ； 4、阅读教材：第4节《一次函数的应用》 二、教材精读 阅读理解：待定系数法 先设出式子中的未知系数，再根据条件求出未知数，从而确定函数的表达式。待定系数法求函数表达式的一般步骤是：⑴设——设出函数表达式（如y=kx+b（k≠0））；⑵代——把已知条件代入表达式中；⑶求——解方程求未知数k、b；⑷写——写出函数的表达式。 5、确定正比例函数的表达式 例1 某物体沿一个斜坡下滑，它的速度v(米/秒)与其下滑时间t(秒 )的关系如图所示． (1)写出v与t之间的关系式； (2)下滑3秒时物体的速度是多少？ 分析：观察图象，根据图象特征来判断，若为直线，则是一次函数；特别地，当直线过原点时，为正比例函数。 解：（1）设v与t之间的函数表达式为 根据题意得 所以k= 所以 （2）当t=3时，v= 。 方法归纳：正比例函数的表达式y=kx，只有一个待定系数k，所以只要知道自变量与函数的一对对应值或图象上一个点的坐标（原点除外）即可求出k的值，从而确定表达式。 6、确定一次函数的表达式 例2 在弹性限度内，弹簧的长度y(厘米)是所挂物体的质量x(千克)的一次函数，当所挂物体的质量为1千克时，弹簧长15厘米；当所挂物体的质量为3千克时，弹簧长16厘米．写出y与x之间的关系式，并求出所挂物体的质量为4千克时弹簧的长度． 分析：因为弹簧的长度y是所挂物体质量x的一次函数，所以可设关系式为y=kx+b 解： 方法归纳：一次函数的表达式y=kx+b，含有两个待定系数k和b，根据两个已知条件列出方程组，即可求出k和b的值，从而确定表达式。 实践练习： 1．一次函数y=kx+b的图象如图所示，看图填空： （1）当x=0时，y=____________，当x=____________时，y=0； （2）k=__________，b=____________； （3）当x=5时，y=__________，当y=30时，x=___________. 2．某地长途汽车客运公司规定旅客可随身携带一定质量的行李，如果超过规定，则需要购买行李票，行李票费用y元是行李质量x(千克)的一次函数，其图象如下图所示． (1)写出y与x之间的函数关系式； (2)旅客最多可免费携带多少千克行李？ 三、教材拓展 7、例3 已知一次函数的图象经过点（2，1）和（－1，－3）。 （1）求此一次函数的解析式； （2）求此一次函数的图象与两坐标轴围成的三角形的面积； （3）若一条直线与此一次函数的图象相交于（－2，a）且与y轴交点的纵坐标为5，求这条直线的解析式。 注：求函数表达式的步骤有：1．设一次函数表达式． 2．根据已知条件列出有关方程． 3．解方程． 4．把求出的k，b值代回到表达式中即可． 模块二 合作探究 已知直线经过点（）且与坐标轴围成的三角形的面积为，求该直线的表达式． （注意分类的思想，画出示意图，用含k、b的代数式表示出三角形的面积即可） 模块三 形成提升 1．若一次函数的图象经过A（－1，1），则 ，该函数图象经过点B（1， ）和点C（ ，0）． 2．如图，直线是一次函数的图象，填空： （1） ， ； （2）当时， ； （3）当时， ． 3．已知直线与直线平行，且与y轴交于点（0，2），求直线的表达式． 模块四 小结评价 一、本课知识：待定系数法 先设出式子中的未知系数，再根据条件求出未知数