第11章 三角形（压轴必刷30题5种题型专项训练）-2023-2024学年八年级数学上学期期中考点大串讲（人教版）

第11章 三角形（压轴必刷30题5种题型专项训练） · 三角形的角平分线、中线和高 · 三角形三边关系 · 三角形内角和定理 · 三角形的外角性质 · 多边形内角与外角 一．三角形的角平分线、中线和高（共1小题） 1．（2022秋•瑞金市校级月考）如图，△ABC的周长是21cm，AB＝AC，中线BD分△ABC为两个三角形，且△ABD的周长比△BCD的周长大6cm，求AB，BC． 【分析】由BD是中线，可得AD＝CD，又由△ABD的周长比△BCD的周长大6cm，△ABC的周长是21cm，AB＝AC，可得AB﹣BC＝6cm，2AB+BC＝21cm，继而求得答案． 【解答】解：∵BD是中线， ∴AD＝CD＝AC， ∵△ABD的周长比△BCD的周长大6cm， ∴（AB+AD+BD）﹣（BD+CD+BC）＝AB﹣BC＝6cm①， ∵△ABC的周长是21cm，AB＝AC， ∴2AB+BC＝21cm②， 联立①②得：AB＝9cm，BC＝3cm． 【点评】此题考查了三角形面积与三角形的中线．注意掌握数形结合思想与方程思想的应用． 二．三角形三边关系（共1小题） 2．（2022春•徐汇区校级期末）周长为30，各边互不相等且都是整数的三角形共有　12　个． 【分析】不妨设三角形三边为a、b、c，且a＜b＜c，由三角形三边关系定理及题设条件可确定c的取值范围，以此作为解题的突破口． 【解答】解：设三角形三边为a、b、c，且a＜b＜c． ∵a+b+c＝30，a+b＞c ∴10＜c＜15 ∵c为整数 ∴c为11，12，13，14 ∵①当c为14时，有5个三角形，分别是：14，13，3；14，12，4；14，11，5；14，10，6；14，9，7； ②当c为13时，有4个三角形，分别是：13，12，5；13，11，6；13，10，7；13，9，8； ③当c为12时，有2个三角形，分别是：12，11，7；12，10，8； ④当c为11时，有1个三角形，分别是：11，10，9； 故答案为：12个． 【点评】此题主要考查学生对三角形三边关系的理解及运用能力． 三．三角形内角和定理（共12小题） 3．（2021秋•新罗区校级月考）在△ABC中，∠A＝36°，当∠C＝　72°，36°，108°　，△ABC为等腰三角形． 【分析】分三种情形分别讨论，运用三角形内角和定理即可解决问题 【解答】解：①当AB＝AC时， ∵∠A＝36°， ∴∠C＝∠B＝72°． ②当CA＝CB时， ∵∠A＝∠B＝36°， ∴∠C＝108°． ③当BA＝BC时， ∴∠C＝∠A＝36°， 综上所述，∠C的值为72°或108°或36°， 故答案为：72°，36°，108°． 【点评】本题考查等腰三角形的判定和性质以及三角形内角和定理的运用，解题的关键是用分类讨论的思想思考问题． 4．（2022秋•潍坊期末）如图，AB和CD相交于点O，∠C＝∠COA，∠BDC＝∠BOD，AP，DP分别平分∠CAO和∠BDC，若∠C+∠P+∠B＝165°，则∠C的度数是　70°　． 【分析】设∠C＝∠AOC＝∠BOD＝∠BDO＝x，∠CAP＝∠PAB＝y，∠P＝z，则∠B＝2y，构建方程组解决问题即可． 【解答】解：∵∠C＝∠COA，∠BDC＝∠BOD，∠AOC＝∠BOD， ∴∠C＝∠AOC＝∠BOD＝∠BDO， ∴∠B＝∠CAO，设∠C＝∠AOC＝∠BOD＝∠BDO＝x，∠CAP＝∠PAB＝y，∠P＝z，则∠B＝2y， 则有， 解得， ∴∠C＝70°， 故答案为70°． 【点评】本题考查三角形内角和定理，三角形的外角的性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程组解决问题． 5．（2021秋•武昌区期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝2α，CD平分∠ACB，∠CAD＝30°﹣α，∠BAD＝30°，则∠BDC＝　120°+α　．（用含α的式子表示） 【分析】延长CB到E，使CE＝CA，连接DE，EA，利用SAS证明△ADC≌△EDC，得AD＝ED，∠ADC＝∠EDC，再证明△EDA为等边三角形，得出AB是∠EAD的角平分线，再通过导角得出答案． 【解答】解：如图，延长CB到E，使CE＝CA，连接DE，EA， ∵CD平分∠ACB， ∴∠ACD＝∠BCD＝， 在△ADC与△EDC中， ， ∴△ADC≌△EDC（SAS）， ∴AD＝ED，∠ADC＝∠EDC， ∵∠CAD＝30°﹣α，∠ACD＝α， ∴∠ADC＝180°﹣（30°﹣α）﹣α＝150°， ∴∠EDC＝∠ADC＝150°， ∴∠EDA＝360°﹣150°﹣150°＝60°， ∵ED＝AD， ∴△EDA为等边三角形， ∴∠EAD＝∠AED＝60°， ∵∠BAD＝30°， ∴∠EAB＝60°﹣30°＝30°， ∴AB是∠EAD的角平分线， ∵AB是ED的垂