2.2基本不等式课件-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

必修一 第二章 一元二次函数、方程和不等式 第二节：基本不等式 目录 CONTENTS 1、基本不等式的定义 2、基本不等式的证明 3、基本不等式的几何解释 4、基本不等式的应用 2.2.1 基本不等式的定义 定义 我们知道，乘法公式在代数式的运算中有重要作用，那么，是否也有一些不等式，它们在解决不等式问题时有着与乘法公式类似的重要作用呢?下面就来研究这个问题 前面我们利用完全平方公式得出了一类重要不等式： ∀ a，b∈R，有a²+b²≥2ab (当且仅当a=b时，等号成立) 特别的，如果a＞0，b＞0，我们用，分别代替上式中的a，b，可得 ≤ (当且仅当a=b时，等号成立) 定义 基本不等式： ≤ (当且仅当a=b时，等号成立) 其中： 叫做正数a，b的算术平均数； 叫做正数a，b的几何平均数。 基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数 定义 变形公式： ab≤ ( a+b≥2 重点应用：用基本不等式求最值时（积定和最小，和定积最大），要注意满足三个条件“一正、二定、三相等” 2.2.2 基本不等式的证明 证明 证明方法一：作差法 证明方法二：借助完全平方公式 证明方法三：分析法 要证 ≤ 只要证 2 ≤ a+b 只要证 2 -a-b≤0 只要证 -(-)²≤0 只要证 ()²≥0 显然，最后一个成立，当且仅当a=b时，等号成立 2.2.3 基本不等式的 几何解释 几何解释 如图：AB 是圆的直径，点C是AB 上一点AC=a，BC=b。过点 C作垂直于AB 的弦 DE，连接 AD，BD。你能利用这个图形，得出基本不等式的几何解释吗? 解答： 可证△ACD∽△DCB，因而 CD= .由于 CD 小于或等于圆的半径，用不等式表示为 ≤ 显然，当且仅当点 C 与圆心重合，即当a= 时，上述不等式的等号成立 2.2.4 基本不等式的应用 应用 例1：已知x＞0，求x+ 的最小值。 解答： 因为x＞0，所以会有 x+ ≥2* =2 当且仅当x=即x²=1，x=1时，等号成立。 因此所求最小值为2. 应用 例2：已知x，y 都是正数，求证： (1) 如果积xy 等于定值P，那么当x=y 时，和x+y 有最小值 2 。 (2) 如果和x十y 等于定值S，那么当x=y 时，积xy 有最大值S²。 解答： 应用 例3： (1) 用爸围一个面积为 100 m²的矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，所用篱笆最短?最短篱笆的长度是多少? (2) 用一段长为 36 m 的篱笆围成一个矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，菜园的面积最大?最大面积是多少? 分析： (1) 矩形菜园的面积是矩形的两邻边之积，于是问题转化为：矩形的邻边之积为定值，边长多大时周长最短。 (2) 矩形莱园的周长是矩形两邻边之和的 2倍，于是问题转化为：矩形的邻边之和为定值，边长多大时面积最大。 解答： 应用 例4：某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池，其容积为4 800 m³，深为3 m。如果池底每平方米的造价为 150 元，池壁每平方米的造价为 120 元，那么怎样设计水池能使总造价最低?最低总造价是多少? 分析： 贮水池呈长方体形，它的高是 3m，池底的边长没有确定，如果池底的边长确定了，那么水池的总造价也就确定了。因此，应当考察池底的边长取什么值时，水池的总造价最低. 解答： 设水池底的相邻两条边的边长分别为xm，ym，水池的总价为z元，根据题意，有 由容积为4800m³，可得3xy=4 800， 所以 xy=1600， 所以 x≥240000+720*2 当x=y=40时，等号成立。此时z=297600。 所以，将贮水池的池底设计成边长为 40 m 的正方形时总造价最低，最低总造价是297 600元。 $$