江西省吉安市双校联盟2022-2023学年高二下学期期中考试数学试题

高二数学试卷 一、单选题(每题5分,共40分) 1.已知集合,, 那么等于( ) A. B. C. D. 2.设复数z满足(i为虚数单位),则( ) A. B. C. D. 3.已知曲线,曲线,则下列结论正确的是( ) A.将曲线上各点的横坐标变为原来的倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移个单位,得到曲线 B.将曲线上各点的横坐标变为原来的倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移个单位,得到曲线 C.将曲线上各点的横坐标变为原来的,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移个单位,得到曲线 D.将曲线上各点的横坐标变为原来的,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移个单位,得到曲线 4.要为5名游客和2位导游拍照留念,要求排成一排,且2位导游相邻,不同的排法共有( )种 A.1440 B.960 C.720 D.240 5.一个几何体的三视图如图所示,其中正视图和侧视图是腰长为2的两个全等的等腰直角三角形,俯视图为边长为2的正方形.若该几何体的体积为,并且可以用个这样的几何体拼成一个棱长为2的正方体,则,的值是( ) A., B., C., D., 6.在三棱锥P-ABC中,PC⊥平面ABC,△ABC是边长为4的正三角形,PC=4,M是AB边上的一动点,则PM的最小值为( ) A.2 B.2 C.4 D.4 7.已知数列满足 ,,则的最小值为( ) A.2 -1 B. C. D. 8.高斯是德国著名数学家,近代数学的奠基者之一,享有“数学王子”的称号,用他名字定义的函数称为高斯函数,其中表示不超过的最大整数,如,,已知数列满足,,,若,为数列的前项和,则( ) A.2023 B.2024 C.2025 D.2026 二、多选题(每题5分,共20分) 9.某同学连续抛掷质地均匀的骰子10次,向上的点数分别为1,2,2,2,3,3,3,4,5,5,则这10个数的( ) A.众数为2和3 B.平均数为3 C.标准差为 D.第85百分位数为4.5 10.若函数是偶函数,定义域为,则( ) A.a = 3 B.b = 0 C.函数的定义域为 D.函数的最小值为1 11.如图,为圆锥的底面直径,点是圆上异于的动点,,则下列结论正确的是( ) A.圆锥的侧面积为 B.三棱锥体积的最大值为 C.的取值范围是 D.若,为线段上的动点,则的最小值为 12.在中,,,,AD是三角形的中线.E,F分别是AB,AC边上的动点,,(x,),线段EF与AD相交于点G.已知的面积是的面积的2倍,则( ) A. B.x+y的取值范围为 C.若,则的取值范围为 D.的取值范围为 三、填空题(共20分) 13.在等差数列中,,则数列的前项和 . 14.已知圆内接四边形ABCD中,,,,,则 . 15.已知随机事件A,B,,,,则 . 16.如图,已知抛物线及两点和,其中.过、分别作轴的垂线,交抛物线于、两点,直线与轴交于点,此时就称、确定了.依此类推,可由、确定、.记,、、、. 给出下列三个结论: ①数列是递减数列;②对任意,;③若,,则. 其中,所有正确结论的序号是 . 四、解答题(共70分) 17.已知圆,直线. (1)求证:直线l恒过定点; (2)当时,求直线l被圆C截得的弦长. 18.某学校高中三个年级共有名学生,为调查他们的课后学习时间情况,通过分层随机抽样获得了20名学生某周的课后学习时间,数据如下表(单位:小时): 高一年级 高二年级 高三年级 (1)试估计该校高三年级的学生人数; (2)从高一年级和高二年级样本学生中各随机抽取一人,高一年级抽取的人记为甲,高二年级抽取的人记为乙,求该周甲的课后学习时间不大于乙的课后学习时间的概率; (3)再从高中三个年级中各随机抽取一名学生,他们该周的课后学习时间分别是8,10,11(单位:小时),这三个数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记为,表格中的数据平均数记为,试判断与的大小关系.(只需写出结论) 19.首项为正数的数列满足. (1)证明:若为奇数,则对,都是奇数; (2)若对,都有,求的取值范围. 20.在四棱锥中,四边形为平行四边形,三角形为等边三角形,已知,,,. (1)求证: (2)求直线与面所成的角的正弦值. 21.定义:若对任意正整数,数列的前项和都是整数的完全平方数,则称数列为“完全平方数列”. (1)若数列满足,判断为是否为“完全平方数列”; (2)若数列的前项和(是正整数),那么是否存在,使数列为“完全平方数列”?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由; (3)试求出所有为“完全平方数列”的等差数列的通项公式. 22.已知椭圆为其左、右焦点,为上点..当,面积最大. (1)求椭圆C的离心率. (2)过P与椭圆C相切的切线方程为,求椭圆C的方程. (3)在(2)的前提下,若.过P的直线交C的另一点,A