5.2 探索轴对称的性质----轴对称路径最值 讲义 2022-2023学年北师大版七年级数学下册

将军饮马路径最值 基本图模 已知：如图.定点A、B分布在定值线I两侧： 要求；在直线I上找一点P,使PA+PB的值最小 解：连接AB交直线I于点P,点P即为所求， PA+PB的最小值即为线段AB的长度 理由：在I上任取异于点P的一点P',连接AP'、BP 在△ABP中，AP'+BP'>AB,即AP'+BP'>AP+BP ‘P为直线AB与直线|的交点时，PA+PB最小 已知：如图.定点A和定点B在定直线|的同侧 要求：在直线I上找一点P.使得PA+PB值最小 (或△ABP的周长最小) 解：作点A关于直线I的对称点A',连接AB交I于P, 点P即为所求： 理由：根据对称的性质知直线I为线段AA的中垂线， 由中垂线的性质得：PA=PA',要使PA+PB最小，则 需PA'+PB值最小，从而转化为模型1. 方法总结： 1.两点之间。线段最短：2.三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边： 3,中垂线上的点到线段两端点的距离相等：4垂线段最短. 拓展模型【模型】一、两定一动之点点 在OA、OB上分别取点M、N,使得△PMN周长最小 此处M、N均为折点.分别作点P关于OA(折点M所在直线)、OB(折点N所在直线)的对称点，化折线段PM+MN+NP为PM +MN+WP,当P、M、N、P“共线时.△PMN周长最小. 【模型】二、两定两动之点点 在OA、OB上分别取点M、N使得四边形PMNQ的周长最小。 考虑PQ是条定线段.故只需考虑PM+MN+WQ最小值即可，类似，分别作点P、Q关于OA、OB对称，化折线段PM+MN+NQ 为PM+MW+NQ:当P、M、N、Q共线时，四边形PMWQ的周长最小。 【模型】三、一定两动之点线 在OA、OB上分别取M、N使得PM+MN最小。 此处M点为折点，作点P关于OA对称的点P,将折线段PM+MN转化为PM+MN,即过点P作OB垂线分别交OA、OB于点M、 N,得PM+MW最小值（点到直线的连线中，垂线段最短） 【模型】四（造桥选址）直线/2，在直线/1上找一个点C,直线2上找一个点D,使得CDL2且AC+BD十CD最短 作法：将点A治CD方向向下平移CD长度d至点A',连接A'B,交2于点D,过点D作DC⊥2于点C,连接AC.则桥CD即为 所求，此时最小值为AB+CD 【模型】五已知A、B是两个定点，在定直线/上找两个动点M与N,且MN长度等于定长d(动点M位于动点N左侧)，使 AM+MN+NB的值最小. 2 练习题 【例1】如图，要在街道/设立一个牛奶站O.向居民区A,B提供牛奶.下列设计图形中使O4+OB值最小的是() ·B A 8 7B B A B B 【变式1】如图，点A,B在直线/的同侧，在直线/上找一点P,使PA+PB最小，则下列图形正确的是() B· A B A 【例2】如图，在平面直角坐标系中，点C的坐标为(-1,5) (1)若把△ABC向右平移5个单位，再向下平移3个单位得到△A1B1C1,并写出B1的坐标：(2)求出△ABC的面积： (3)在y轴上找一点P,使得PA+PB的值最小（保留作图痕迹，不写作法） 【变式1】如图，在平面直角坐标系中，点C的坐标为(-1,5) (1)若把△ABC向右平移5个单位，再向下平移3个单位得到△A1B1C1,并写出B1的坐标： (2)在x轴上找一点P.使得PA+PB的值最小 B 0 例3如图，已知点D、E分别是等边三角形ABC中BC、AB边的中点，AD=6，,点F是线段AD上的动点，则BF+EF的 最小值为() A3B.6C.9 D.12 D D 变式1如图.在△ABC中，AB=AC,AD,BE是△ABC的两条中线，AD=5,BE=6.P是AD上的-个动点，连接PE,PC, 则PC+PE的最小值是() A.5 B.6 C.7 D.8 变式2已知，等腰△ABC中，AB=AC,E是高AD上任-点，F是腰AB上任一点，腰AC=5,BD=3,AD=4,那么线段BE 24 +EF的最小值是（)A.5B.3C. 5D. 2 [例4】如图.Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6,BC=8.AB=10,BD平分LABC.如果点M.N分别为BD,BC上的动点 那么CM+MW的最小值是() A.4 B.4.8 C.5 D.6 C F E D B 变式1如图.在Rt△ABC中，LACB=90°，AC=3,BC=4,AB=5,AD平分∠CAB交BC于D点，E、F分别是AD,AC上的 动点，则CE+EF的最小值为() 12 A. 2 B.5 C.3 5 垂线段最短 例5 如图.OP平分LAOB,PD⊥OA于点D,点E是射线OB上的一个动点，若PD=3,则PE的最小值是一 B 变式1如图.在△ABC中，LC=90°，BD为△ABC的角平分线，过点D作直线川AB,点P为值线/上的