24.1.2 垂直于弦的直径（导学案）-【上好课】九年级数学上册同步高效课堂（人教版）

24.1.2 垂直于弦的直径 导学案 学习目标 1 理解圆的轴对称性及垂径定理的推导，能初步应用垂径定理进行计算和证明； 2 通过圆的对称性，培养学生对数学的审美观，并激发学生对数学的热爱. 重点难点突破 ★知识点1：圆的轴对称性： 圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴. ★知识点2： 垂径定理的内容： 垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧. ★知识点3： 垂径定理推论的内容： 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧. 核心知识 一、圆的轴对称性： 圆是______________图形，任何一条___________所在直线都是它的对称轴. 二、垂径定理的内容： 垂直于弦的直径____________弦，并且__________弦所对的_______________弧. 三、 垂径定理推论的内容： 平分弦（不是________）的直径_____________于弦，并且_________弦所对的两条弧. 引入新课 【提问】简述轴对称图形的概念？说出常见的轴对称图形？ 新知探究 【活动一】将你手中的圆形纸片沿着它的任意一条直径对折，重复做几次，你发现了什么？由此你能得到圆的什么特性？ 【活动二】在圆形纸片上作⊙O的任意一条弦AB，再作直径CD⊥AB, 垂足为E.沿着直径CD对折，你发现了什么？有哪些相等的线段和弧？ 【证明一】已知：如图，CD是⊙O的任一条直径，A是⊙O上点C、D以外任意一点，过点A作CD⊥AB，交⊙O于点B，垂足为E.求证：AE=BE. 【提问】由此你觉得垂直于弦的直径有什么特点呢？ 【提问】下列图形是否具备垂径定理的条件？为什么？ 典例分析 例1 如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离（弦心距）为3cm，求⊙O的半径． 【针对训练】 1. 如图，在⊙O中，AB=8，OA=5，则OE= ，ED= ． 2.如图，在⊙O中，OA=5，ED=2，则OE= ，AB= . 3.如图，在⊙O中，AB=8，ED=2，则OA= ，OE= . 4.如图，⊙M 与x轴交于A，B 两点，与y轴交于C，D 两点，若M(2,0)，B(5,0)，则C点的坐标是 . 5 如图，⊙O的半径为3，点P是弦AB延长线上的一点，连接OP，若OP=4，∠P=30°，则弦AB的长为（ ）． A. B.2 C.2 D.2 垂径定理的解题思路： 垂径定理的解题技巧： 例2 1400多年前，我国隋朝建的赵州石拱桥(如图)的桥拱是圆弧形，它的跨度(弧所对是弦的长)为 37 m，拱高为7.23m，求桥拱的半径(精确到0.1m). 【针对训练】 1 如图是一个圆弧形门拱，拱高1m ，跨度4m ，那么这个门拱的半径为（ ） A.2m B.2.5m C.3m D.5m 2.如图，石拱桥的桥顶到水面的距离CD为8m，桥拱半径OC为5m，则水面AB宽为（） A.4m B.5m C.6m D.8m 新知探究 【提问】平分弦的直径垂直于这条弦吗？ 【提问】如图，AB是⊙O的一条弦，直径CD交AB点E，使AE=BE. （1）CD⊥AB吗？为什么？ （2）与相等吗？与相等吗？为什么？ （3）你发现了什么？ 典例分析 例3 下列说法正确的是（　　） ①平分弧的直径垂直平分弧所对的弦 ②平分弦的直径平分弦所对的弧 ③垂直于弦的直线必过圆心 ④垂直于弦的直径平分弦所对的弧 A．②③ B．①③ C．②④ D．①④ 【针对训练】 1.如图，在⊙O中，弦AB的长是半径OA的倍，C为中点，AB、OC交于点P，则四边形OACB是（   ） A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 2.如图，为直径，交弦于点E，若E点为中点，则说法错误的是（   ） A． B． C． D． 直击中考 1．（2023·广西中考真题）赵州桥是当今世界上建造最早，保存最完整的中国古代单孔敞肩石拱桥.如图，主桥拱呈圆弧形，跨度约为，拱高约为，则赵州桥主桥拱半径R约为________________m 2．（2023·陕西·统考中考真题