24.1.2 垂直于弦的直径（教学设计）-【上好课】九年级数学上册同步高效课堂（人教版）

24.1.2 垂直于弦的直径 教学设计 一、内容和内容解析 1.内容 本节课是人教版《义务教育教科书•数学》九年级上册（以下统称“教材”）第二十四章“圆”24.1.2 垂直于弦的直径，内容包括：垂径定理和垂径定理的推论． 2.内容解析 圆有许多重要性质，其中最主要的性质是圆的对称性(轴对称性和旋转不变性)，它是探索其他性质的基础，垂径定理正是圆的轴对称性的具体体现．它是圆中证明线段相等、角相等以及垂直关系的重要依据，同时也为和圆有关的其它计算、证明、作图提供了重要的方法和依据，此外垂径定理也为研究弦、弧、圆心角定理提供了研究方法． 垂径定理的条件是：（1）过圆心；（2）垂直于弦；（3）平分弦；（4）平分弦所对的优弧；（5）平分弦所对的劣弧，已知五个条件中的两个就可推出其中三个，解题过程中应灵活运用该定理. 基于以上分析，确定本节课的教学重点是：垂径定理的探索及初步应用． 二、目标和目标解析 1.目标 1) 理解圆的轴对称性及垂径定理的推导，能初步应用垂径定理进行计算和证明； 2) 通过圆的对称性，培养学生对数学的审美观，并激发学生对数学的热爱． 2.目标解析 达成目标1）的标志是：学生知道圆是轴对称图形，并能指出圆的对称轴. 垂径定理的条件是：（1）过圆心；（2）垂直于弦；（3）平分弦；（4）平分弦所对的优弧；（5）平分弦所对的劣弧，已知五个条件中的两个就可推出其中三个，解题过程中应灵活运用该定理. 达成目标2）的标志是：通过圆的对称性，培养学生对数学的审美观，并激发学生对数学的热爱. 三、教学问题诊断分析 垂径定理的题设与结论比较复杂，题设的变式比较多样，一些学生不能把握题设的本质，从而造成对定理的理解不深入． 基于以上分析，本课的教学难点是：利用垂径定理进行计算． 四、教学过程设计 （一）复习旧知，引入新课 【提问】简述轴对称图形的概念？说出常见的轴对称图形？ 师生活动：教师提出问题，学生回答． 【设计意图】先回顾轴对称的相关知识，为本节课学习圆的轴对称性做好铺垫． （二）探究新知 【活动一】将你手中的圆形纸片沿着它的任意一条直径对折，重复做几次，你发现了什么？由此你能得到圆的什么特性？ 师生活动：教师提出问题，学生尝试将已准备的圆形纸片对折，观察折叠后的图形并解决这个问题.教师通过多媒体展示圆形纸片的折叠过程，引导学生归纳得出圆的轴对称性：圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴. 【设计意图】掌握圆的轴对称性. 【活动二】在圆形纸片上作⊙O的任意一条弦AB, 再作直径CD⊥AB, 垂足为E.沿着直径CD对折，你发现了什么？有哪些相等的线段和弧？ 师生活动：教师提出问题，并通过多媒体展示折叠过程，学生观察动态过程，容易发现以下内容：点A与点B重合，AE与BE重合， 重合， 重合，由此得出：AE=BE, = ， = 【证明一】已知：如图，CD是⊙O的任一条直径，A是⊙O上点C,D以外任意一点，过点A作CD⊥AB，交⊙O于点B，垂足为E.求证：AE=BE. 师生活动：教师提出问题，学生尝试回答问题.师通过多媒体展示证明过程. 证明：连接OA、OB, 在△OAB中， ∵OA=OB ∴△OAB是等腰三角形又∵ CD⊥AB,∴AE=BE 即CD是AB的垂直平分线.这就是说对于圆上任意一点A，在圆上都有关于直线CD的对称点B，因此⊙O关于直线CD对称. 【提问】由此你觉得垂直于弦的直径有什么特点呢？ 师生活动：教师提出问题，学生尝试回答问题. 教师引导学生归纳垂径定理的内容：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧. 【设计意图】让学生理解垂径定理的推导过程. 【提问】下列图形是否具备垂径定理的条件？为什么？ 师生活动：教师提出问题，学生尝试回答问题. 【设计意图】让学生理解垂直于弦的线不一定必须是直径，可以是半径、弦心距及过圆心的直线，而它们的共同特征是都过圆心． （三）归纳小结 垂径定理的基本图形： 垂径定理的解题思路： 弦心距：圆心到弦的距离（即圆心到弦的垂线段的距离）． 在Rt△OEB中，由勾股定理得：= 垂径定理的解题技巧： 见弦常作弦心距，连接半径，构造直角三角形用勾股定理求解 【设计意图】 1. 学生理解垂直于弦的线不一定必须是直径，可以是半径、弦心距及过圆心的直线，而它们的共同特征是都过圆心． 2.掌握垂径定理的解题思路和技巧. （四）典例分析与针对训练 例1 如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离（弦心距）为3cm，求⊙O的半径． 【针对训练】 1. 如图，在⊙O中，AB=8，OA=5，则OE= ，ED= ． 2.如图，在⊙O中，OA=5，ED=2，则OE= ，AB=