2.2 基本不等式（同步课件）-2023-2024学年高一数学同步精品课堂（人教A版2019必修第一册）

2.2 基本不等式 第二章 一元二次函数、方程与不等式 复习导入 我们知道，乘法公式在代数式的运算中有重要作用.那么，是否也有一些不等式，它们在解决不等式问题时有着与乘法公式类似的重要作用呢？下面就来研究这个问题. 前面我们利用完全平方公式得出了一类重要不等式： 有当且仅当时，等号成立. 特别地，如果，，我们用分别代替上式中的， 可得 (1) 当且仅当时，等号成立. 通常称不等式为基本不等式.其中，叫做正数的算术平均数.叫做正数的几何平均数. 基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. 新知探索 上面通过考察的特殊情形获得了基本不等式.能否直接利用不等式的性质推导出基本不等式呢？下面我们来分析一下. 要证 ，① 只要证 ② 要证②，只要证 ③ 要证③，只要证 ④ 要证④，只要证 ⑤ 显然，⑤成立，当且仅当时，⑤中的等号成立. 只要把上述过程倒过来，就能直接推出基本不等式了. 新知探索 在图中，是圆的直径，点是上一点，过点作垂直于的弦，连接你能利用这个图形，得出基本不等式的几何解释吗？ 如图，可证 因而 由于小于或等于圆的半径，用不等式表示为. 显然，当且仅当点与圆心重合，即当时，上述不等式的等号成立. 例析 例1.已知求的最小值. 解：∵∴ 当且仅当即时，等号成立，因此所求的最小值为2. 在本题的解答中，我们不仅明确了有而且给出了“当且仅当即时，等号成立”，这是为了说明2是的一个取值. 想一想，当时，成立吗？这时能说是的最小值吗？ 例析 例2.已知都是正数，求证： (1)如果积等于定值，那么当时，和有最小值； 证明：∵都是正数，∴ (1)当积等于定值时，∴ 积定和最小 当且仅当时，上式等号成立. 于是，当时，和有最小值. 例析 例2.已知都是正数，求证： (2)如果和等于定值，那么当时，积有最大值 和定积最大 当且仅当上式等号成立. 于是，当时，积有最大值 证明：(2)当和等于定值时， ∴ 例析 例3.(1)用篱笆围一个面积为的矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，所用篱笆最短？最短篱笆的长度是多少？ 解：设矩形菜园的相邻两条边的长分别为篱笆的长度为 (1)由已知得 由，可得 ∴ 当且仅当时，上式等号成立. 因此，当这个矩形菜园是边长为的正方形时，所用篱笆最短，最短篱笆的长度为 例析 例3.(2)用一段长为的篱笆围成一个矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？ 解：(2)由已知得矩形菜园的面积为 由 可得 当且仅当时，上式等号成立. 因此，当这个矩形菜园是边长为的正方形时，菜园面积最大，最大面积是. 例析 例4.某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池，其容积为,深为如果池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元，那么怎样设计水池能使总造价最低？最低总造价是多少？ 解：设贮水池池底的相邻两条边的边长分别为水池的总造价为元. 根据题意，有 由容积为,可得 ∴ 当时，上式等号成立，此时 所以，将贮水池的池底设计成边长为的正方形时总造价最低，最低总造价是297600元. 练习 题型一：利用基本不等式比较大小 例1.若，，且，则，，，中最大的是（ ）. A. B. C. D. 答案：D. 解：∵，，且，∴ ∴四个数中最大的应从，中选择. 而 又∵，，∴ ∴即 ∴最大，故选D. 练习 变1.已知,,则之间的大小关系是( ). A. B. C. D.不确定 答案：B. 解：∵ ∴ . 练习 方法技巧： 在利用基本不等式比较大小时，应创设应用基本不等式的条件，合理拆项或配凑，在拆项与配凑的过程中，首先要考虑基本不等式使用的条件，其次要明确基本不等式具有将“和式”转化为“积式”或者将“积式”转化为“和式”的功能. 练习 题型二：利用基本不等式求最值 例2.(1)已知，求的最小值. 解：(1)∵， ∴ ∴ 当且仅当，即时，“=”成立. ∴的最小值为0. 练习 例2.(2)已知，求的最大值. 解：(2)∵， ∴， ∴ 当且仅当，即时，“”成立. ∴的最大值为. 练习 例2.(3)已知，且求的最小值. 解：(3)∵，且 ∴ 当且仅当即时，“”成立. ∴的最小值为. 练习 变2.(1)已知，求的最大值. 解：(1)∵， ∴<0，0. ∴ 当且仅当得或(舍去)，即，“=”成立. ∴的最大值为. 练习 变2.(2)已知，且求的最小值. 解：(3)∵，且 ∴ ∴ 当且仅当即时，“”成立. ∴的最小值为. 练习 方法技巧： 通过拼凑法利用基本不等式求最值的策略 拼凑法的