核心训练2 一元二次函数、方程和不等式（3大考点 知识笔记+核心训练）-【考点题型全过关】2023-2024学年高一数学期中期末综合复习专题提优训练（人教A版2019必修第一册）

一元二次函数、方程和不等式 目录 考点一：等式性质与不等式性质 1 考点二：基本不等式 4 考点三：二次函数与一元二次方程、不等式 7 考点一：等式性质与不等式性质 基本事实：两个实数a，b，其大小关系有三种可能，即a>b，a＝b，a<b. 依据 a>b⇔a－b>0. a＝b⇔a－b＝0. a<b⇔a－b<0 结论 要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的差与0的大小 重要不等式：∀a，b∈R，有a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立． 等式的基本性质 1．如果a＝b，那么b＝a. 2．如果a＝b，b＝c，那么a＝c. 3．如果a＝b，那么a±c＝b±c. 4．如果a＝b，那么ac＝bc. 5．如果a＝b，c≠0，那么＝. 不等式的性质 性质 别名 性质内容 注意 1 对称性 a>b⇔b<a ⇔ 2 传递性 a>b，b>c⇒a>c 不可逆 3 可加性 a>b⇔a＋c>b＋c 可逆 4 可乘性 a>b，c>0⇒ac>bc a>b，c<0⇒ac<bc c的符号 5 同向可加性 a>b，c>d⇒a＋c>b＋d 同向 6 同向同正可乘性 a>b>0，c>d>0⇒ac>bd 同向 7 可乘方性 a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥2) 同正 一、单选题 1．（2022秋·浙江宁波·高一校联考期中）已知，则下列不等式中正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（2021秋·江苏苏州·高一统考期中）十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“=”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“<”和“>”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远.若，则下列命题正确的是（    ） A．若且，则 B．若，则 C．若且，则 D．若，则 3．（2022秋·四川成都·高一石室中学月考）已知，则下列说法正确的是 （    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 4．（2022秋·广东佛山·高一统考期中）已知，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（2022秋·江苏徐州·高一统考期中）已知命题且，命题，则是的（    ） A．充要条件 B．充分且不必要条件 C．必要且不充分条件 D．既不充分也不必要条件 6．（2023春·河北石家庄·高一月考）已知，，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 7．（2023秋·云南红河·高一统考期末）下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 8．（2022秋·青海海东·高一月考）已知，则的取值可以为（    ） A．1 B． C．3 D．4 9．（2022秋·云南保山·高一校联考）设，则下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 10．（2022秋·四川南充·高一月考）如果，则下列选项不正确的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 三、填空题 11．（2022秋·上海浦东新·高一统考期末）设a、b、c、d是实数，则下列命题为真命题的是 . ①如果，且，那么； ②如果，且，那么； ③如果，那么； ④如果，那么. 12．（2023春·广东揭阳·高一统考期末）已知，且，则的取值范围是 ． 四、解答题 13．（2022秋·河南·高一河南省实验中学月考）（1）已知，且，证明：． （2）证明：． 14．（2022秋·内蒙古通辽·高一校考期中）（1）设，，.试比较P与Q的大小. （2）已知，，.求证：； 15．（2022秋·湖北黄冈·高一月考）（1）已知，．求和的取值范围． （2）已知，，求的取值范围． 考点二：基本不等式 1、基本不等式（一正，二定，三相等，特别注意“一正”，“三相等”这两类陷阱） ①如果，，，当且仅当时，等号成立． ②其中叫做正数，的几何平均数；叫做正数，的算数平均数． 2、两个重要的不等式 ①（）当且仅当时，等号成立． ②（）当且仅当时，等号成立． 3、利用基本不等式求最值 ①已知，是正数，如果积等于定值，那么当且仅当时，和有最小值； ②已知，是正数，如果和等于定值，那么当且仅当时，积有最大值； 4、常用技巧 利用基本不等式求最值的变形技巧——凑、拆（分子次数高于分母次数）、除（分子次数低于分母次数））、代（1的代入）、解（整体解）. ①凑：凑项，例：； 凑系数，例：； ②拆：例：； ③除：例：； ④1的代入：例：已知，求的最小值. 解析：. ⑤整体解：例：已知,是正数，且，求的最小值. 解析：，即，解得. 一、单选题 1．（2023春·安徽亳州·高一涡阳县第二中学校联考期末）已知正实数m，n满足，则的最大值是（    ） A