专题课堂(五) 三角形全等中辅助线的常见类型（作业课件）-【原创新课堂】2022-2023学年八年级数学上册（人教版）河南

原创新课堂 数学八年级上册人教版 第十二章全等三角形 专题课堂（五）三角形全等中 辅助线的常见类型 一、倍长中线法 1.如图，在△ABC中，D为BC的中点. (1)求证：AB+AC>2AD; B (2)若AB=5,AC=3,求AD的取值范围. 解：(I)延长AD至E,使DE=AD,连接BE,由SAS可证△ADC≌△EDB, 则AC=BE,AD=DE,∴.AE=2AD,在△ABE中，AB十BE>AE,.AB十 AC>2AD (2)由(1)可知，BE=AC=3,则在△ABE中，5一3<AE<5十3，即2<AE<8, .1<AD<4 2.如图，AD是△ABC的中线，点E在BC的延长线上，CE=AB,∠BAC =∠BCA,求证：AE=2AD. 解：延长AD至M,使DM=AD,连接MC,由SAS可证△ABD≌△MCD, ,'.AB=CM,∠B=∠MCD,,∠BAC=∠BCA,∠ACE=∠B+∠BAC, ,∴.∠ACM=∠ACE,再证△ACM≌△ACE,∴.AE=AM,,∴.AE=2AD 3.如图，AB=AE,AB⊥AE,AD=AC,ADL⊥AC,点M为BC的中点， 求证：DE=2AM. 解：延长AM至N,使MN=AM,连接BN,,点M为BC的中点，∴.BM= CM.又.'∠BMN=∠CMA,.△AMC≌△NMB(SAS),∴.AC=BN,∠C= ∠NBM,∠ABN=∠ABC+∠NBM=∠ABC+∠C=180°-∠BAC=∠ EAD.AC=AD,.BN=AD,又AB=EA,.△ABN≌△EAD(SAS9),∴. DE=NA,义.AM=MN,∴.DE=2AM 二、截长补短法 4.如图，在△ABC中，∠B=60°，AD,CE分别平分∠BAC,∠ACB, 求证：AC=AE十CD 解：在AC上取AF=AE,连接OF..AD平分∠BAC,.∴.∠EAO=∠FAO, 在△AE0和△AFO中，AE=AF,∠EAO=∠FA0,A0=AO, .∴.△AEO≌△AFO(SAS),.∴.∠AOE=∠AOF..AD,CE分别平分∠BAC, ∠ACB,∠ECA+∠DAC=LACB+7∠BAC=(LACB+ZBAg= 180°-∠B)=60°，则∠A0C=180-∠ECA-∠DAC=120°，∠A =∠C0D=∠AOF=60°，则∠C0F=60°，.∴.∠C0D=∠C0F在△F0C与 △DOC中，∠COF=∠COD,CO=CO,∠FCO=∠DCO, .∴.△FOC≌△DOC(ASA),∴.DC=FC.∴.AC=AF+FC,.∴.AC=AE+CD 5.如图， 在四边形ABCD中， $$\angle A = \angle C = 9 0 ^ { \circ } ， \angle D = 6 0 ^ { \circ } ， A B = B C ， E ，$$ F分别在AD，CI D 上，且 $$\angle E B F = 6 0 ^ { \circ } .$$ 求证： EF=AE+CF. B E C D F 解：延长DC至M,使CM=AE,连接BM.在△ABE和△CBM中， AE=CM, ∠A=∠BCM=90°，.△ABE≌△CBM,∴.BE=BM,∠ABE AB=CB, ∠CBM..·∠D=60°，∠A=∠C=90°，.∴.∠ABC=360°-60°-90°×2= 120°..·∠EBF=60°，，∴.∠ABE+∠CBF=∠ABC-∠EBF=120°-60°=60°， .∴.∠MBF=∠MBC+∠CBF=∠ABE+∠CBF=60°，.∴.∠MBF=∠EBF.在 BM=BE, △BMF和△BEF中， ∠MBF=∠EBF,.∴.△BMF≌△BEF,∴.MF=EF, BF=BF, .MF=CM+CF,..EF=AE+CF 6.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,点D为BC的中点， CE⊥AD于点E,其延长线交AB于点F,连接DF.求证：∠ADC=∠BDF. E D A F B 解：过点B作BGAC,交CF的延长线于点G,∴.∠G=∠ACE.∠CBG= ∠ACB=90°，，AC⊥BC,CE⊥AD,,.∠ACE十∠DCE=∠ADC+∠ DCE=90°，.∠ACE=∠ADC,.∴.∠G=∠ADC.又.AC=CB,∠ACD =∠CBG=90°，.△ADC≌△CGB(AAS9,∴.BG=CD=BD.在等腰直角 △ABC中，∠CAB=∠ABC=45°，BG‖AC,∴.∠GBF=∠CAB, ∠GBF=∠DBF,又BF=BF,BG=BD,.△GBF≌△DBF(SAS,. ∠G=∠BDF,∴.∠ADC=∠BDF