第22章 专题三 二次函数与几何图形的小综合-(习题课件)【优+学案】2023-2024学年九年级上册数学课时通(人教版) 河北专版

年级上册·RJ河北专用 数 学 第二十二章　二次函数 专题三　二次函数与几何图形的小综合 ⁠线段长、图形面积最值问题 1.如图所示，直线y＝x＋2与抛物线y＝ax2＋bx＋6（a≠0）相交于A（4，6）和B两点，点P是线段AB上异于A，B的动点，过点P作PD⊥x轴于点E，交抛物线于点D. （1）求抛物线的解析式. 解：（1）将点A，点B的坐标代入抛物线解析式，得 解得 ∴抛物线的解析式为y＝2x2－8x＋6. （2）当D为抛物线的顶点时，求△ADC的面积. 解：（2）∵抛物线的对称轴为直线x＝2， ∴点D（2，－2）， 当x＝2时，y＝x＋2＝4， ∴P（2，4）， 则PD＝6， 当y＝0时，x＋2＝0，x＝－2， ∴C（－2，0）， ∴△ACD的面积＝PD（xA－xC）＝×6×6＝18. （3）是否存在这样的点P，使△ADC的面积有最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由. 解：（3）存在，理由： 设点P（x，x＋2），点D（x，2x2－8x＋6）， ∴S△ADC＝PD（xA－xC）＝×（x＋2－2x2＋8x－6）×6＝－6x2＋27x－12. ∵－6＜0，故S△ADC有最大值，当x＝时，S△ADC最大值为. ⁠线段和、周长最值问题 2.如图所示，抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且OA＝2，OC＝3. （1）求抛物线的函数解析式. 解：（1）∵OA＝2，OC＝3， ∴点A（－2，0），点C（0，3）. 将点A与点C代入y＝－x2＋bx＋c， 得解得 ∴抛物线的函数解析式为y＝－x2＋x＋3. （2）若点D（2，2）是抛物线上一点，那么在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得△BDP的周长最短？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由. 解：（2）存在.∵函数的对称轴为直线x＝， ∴点D（2，2）关于对称轴的对称点为点D'（－1，2）. 连接D'B与对称轴交于点P，即为所求点. ∵DP＝D'P， ∴DP＋PB＋BD＝D'P＋PB＋BD＝D'B＋BD. 由对称轴x＝和点A（－2，0），易求点B（3，0）. 设直线BD'的解析式为y＝kx＋a. 将点B（3，0）和点D'（－1，2）代入得解得 故直线BD'的解析式为y＝－x＋， 当x＝时，y＝－×＋＝， ∴点P， ∴当点P的坐标为时，△BDP的周长最短. ⁠特殊三角形、四边形问题 3.如图所示，已知抛物线y＝x2－x－2与x轴交于A，B两点（点A在点B的右边），与y轴交于点C. （1）求点A，B，C的坐标. 解：（1）令y＝0，得x2－x－2＝0，解得x1＝－2，x2＝4， ∴点A（4，0），点B（－2，0）. 把x＝0代入抛物线的解析式得y＝－2，∴点C（0，－2）. 解：（2）此抛物线的对称轴上存在点P，使得△ACP是等腰三角形.抛物线的对称轴为直线x＝－＝1，设点P（1，a），∴AP2＝a2＋9，CP2＝（a＋2）2＋1＝a2＋4a＋5，AC2＝20， ①当AP＝CP时，即a2＋9＝a2＋4a＋5， 解得a＝1，∴点P1（1，1）. ②当CP＝AC时，即a2＋4a＋5＝20， 解得a＝－2±，∴点P2（1，－2＋）， 点P3（1，－2－）. （2）此抛物线的对称轴上是否存在点P，使得△ACP是等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由. ③当AP＝AC时，即a2＋9＝20， 解得a＝±，∴点P4（1，），点P5（1，－）， ∴满足条件的点P的坐标为P1（1，1），P2（1，－2＋），P3（1，－2－），P4（1，），P5（1，－）. ⁠线段数量关系、面积数量关系问题 4.如图所示，抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于A（－1，0），B（5，0）两点，直线y＝－x＋3与y轴交于点C，与x轴交于点D.点P是第一象限内抛物线上一动点，过点P作PF⊥x轴于点F，交直线CD于点E.设点P的横坐标为m，若PE＝5EF，求m的值. 解：抛物线y＝－x2＋bx＋c经过A（－1，0），B（5，0）两点，将点A，B代入，得 解得故y＝－x2＋4x＋5. 由题意可设点P（m，－m2＋4m＋5）， 则点E，点F（m，0）. 因为点P在x轴上方，要使PE＝5EF，则0＜m＜5，所以PE＝－m2＋4m＋5－＝－m2＋m＋2，EF＝|－m＋3|. ∵PE＝5EF，∴－m2＋m＋2＝5|－m＋3|. 当－m2＋m＋2＝5，解得 m1＝6.5（舍去），m2＝2. 当－m2＋m＋2＝－5，解得m3＝（舍去），m4＝. 综上所述，m的值为2或. ⁠角度数量关系问题 5.如图所示，抛物线y1＝ax2＋bx＋与x轴交于点A（－3，0），点B，点D是抛物线y1的顶点，过点D作x轴的垂线，垂足为点C（－1，0）.点M在抛物线上，横坐标为m，连接MC，若∠MCB