专题12.2 角平分线的几何综合（压轴题专项讲练）-2023-2024学年八年级数学上册压轴题专项讲练系列（人教版）

专题12.2 角平分线的几何综合 【典例1】问题情境：（1）如图，，平分，把三角尺的直角顶点落在的任意一点上，并使三角尺的两条直角边分别与、相交于点、，过点作于点，作于点，请写出与的数量关系___________； 变式拓展：（2）如图2，已知平分，是上一点，过点作于，于，边与边相交于点，边与射线的反向延长线相交于点，．试解决下列问题： ①与之间的数量关系还成立吗？为什么？ ②若，试判断、、三条线段之间的数量关系，并说明理由． 【思路点拨】 （1）过点作于，于．证明，可得结论； （2）①过点作于，于．证明，可得结论； ②结论：．证明，推出，再由，推出，可得结论． 【解题过程】 （1）证明：过点作于，于． 平分，，， ， ， ， ， ， 在和中， ， （ASA）， ； （2）解：①结论：． 理由：过点作于，于， 平分，，， ， ． ， 在和中， ， （ASA）， ； ②结论：． 理由：在和中， ， （AAS）， ， （ASA）， ， ， 在中，，， ， ， ． 1．（2022秋·广东广州·八年级校考期中）如图，四边形中，，，E，F分别为，上的点，．    （1）求证：． （2）求证：点C在的平分线上． 2．（2023春·全国·八年级专题练习）如图1，在△ABC中，∠BAC的平分线AD与∠BCA的平分线CE交于点O． （1）求证：∠AOC＝90°＋∠ABC； （2）当∠ABC＝90°时，且AO＝3OD（如图2），判断线段AE，CD，AC之间的数量关系，并加以证明． 3．（2023·全国·八年级专题练习）如图，在中，为边上的高，是的角平分线，点F为上一点，连接，．    （1）求证：平分； （2）连接交于点G，若，求证：； （3）在（2）的条件下，当，时，求线段的长． 4．（2022秋·上海·八年级专题练习）如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＋∠BDC=180°． （1）求证：AD为∠BDC的平分线； （2）若∠DAE=∠BAC，且点E在BD上，直接写出BE、DE、DC三条线段之间的等量关系_______． 5．（2023秋·安徽合肥·八年级统考期末）在和中，，，． （1）如图1，当点A，C，D在同一条直线上时，求证：，； （2）如图2，当点A、C、D不在同一条直线上时，（1）中结论是否仍然成立，为什么； （3）如图3，在（2）的条件下，连接并延长交于点G，的大小固定吗？若是，求出的度数；若不是，请说明理由． 6．（2023·宁夏银川·银川市第三中学校考二模）问题提出 （1）如图①，已知，以点O为圆心，适当长为半径画弧，交于点M，交于点N，分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部交于点C，画射线，连接，则图①中与全等的是___________；      问题探究 （2）如图②，在中，平分，过点D作于点M，连接，，若，求证：； 问题解决 （3）如图③，工人刘师傅有块三角形铁板，，他需要利用铁板的边角裁出一个四边形，并要求，．刘师傅先在纸稿上画出了三角形铁板的草图，再用尺规作出的平分线交于点D，作的平分线交于点E，交于点F，得到四边形．请问，若按上述作法，裁得的四边形是否符合要求？请证明你的结论． 7．（2022·全国·八年级假期作业）如图，中，于点，，点在上，，连接． （1）求证：； （2）延长交于点，连接，求的度数； （3）过点作，，连接交于点，若，，直接写出的面积． 8．（2022春·黑龙江哈尔滨·七年级统考期末）如图，的和的平分线，相交于点，． （1）求的度数； （2）如图，连接，求证：平分； （3）如图，在⑵的条件下，在上取点，使得，且，，求的周长． 9．（2023春·广东梅州·八年级校考阶段练习）已知中，平分，交于点，平分，交于点，与交于点． （1）如图，求证：．    （2）如图，连接，求证：平分．    （3）如图，若，，，求的值．    10．（2022秋·福建福州·八年级校考开学考试）在ABC中，点D、E分别在AB、AC边上，连接DE、CD，EF⊥CD于F，DE＝CE． （1）如图1，求证：DF＝CF； （2）如图2，若∠AED＝∠ABC，EG⊥BC于G，连接BE交CD于H，求证：∠ABE＝∠CBE； （3）如图3，在（2）的条件下，若BC＝6CG，DH＝4，求HF的长． 11．（2022秋·湖北武汉·八年级校考阶段练习）已知：，小新在学习了角平分钱的知识后，做了一个夹角为120°（即）的角尺来作的角平分线． （1）如图1，他先在边OA和OB上分别取，再移动角尺使，然后他就说射线OP是的角平分线．试根据小新的做法证明射线OP是的角平分线； （2）如图2，将角尺绕点P旋转了一定的角度后，，但仍然出现了，此时OP是的角平分线吗？如果是，请说明理由． （3）如图3，在（2）的基础上，若角尺旋转