专题12.1 全等三角形的几何综合（压轴题专项讲练）-2023-2024学年八年级数学上册压轴题专项讲练系列（人教版）

专题12.1 全等三角形的几何综合 【典例1】（1）方法感悟：如图①，在正方形中，点E、F分别为边上的点，且满足，连接．将绕点A顺时针旋转90°得到，易证，从而得到结论：，根据这个结论，若正方形的边长为1，则的周长为______； （2）方法迁移：如图②，若在四边形中，，，E、F分别是 上的点，且，试猜想之间有何数量关系，证明你的结论； （3）问题拓展：如图③，在四边形中，，，B、F分别是边延长线上的点，且，试探究线段之间的数量关系，请直接写出你的猜想（不必说明理由） 【思路点拨】 （1）根据题意得，然后根据三角形周长公式即可进行解答； （2）延长到G，使，连接，通过证明，得出对应边相等，转化得出答案即可； （3）在上截取，使，连接．用和（1）相同的证法，可得，则． 【解题过程】 解：（1） ∵， ∴， ∴的周长． （2） 证明如下： 如图，延长到G，使，连接， ， 在和中， ∵ ， 在和中， ， ， （3）结论：， 证明：如图所示，在上截取，使，连接． ∵在和中， ， ． ， ， ， ， ． 1．（2022秋·辽宁营口·八年级校考阶段练习）如图，在和中，，，，CE的延长线交BD于点F． （1）求证：． （2）若，请直接写出的度数． （3）过点A作于点H，求证：． 2．（2022秋·江苏·八年级专题练习）已知，在中，，点为边的中点，分别交，于点，． （1）如图1，①若，请直接写出______； ②连接，若，求证：； （2）如图2，连接，若，试探究线段和之间的数量关系，并说明理由． 3．（2022秋·八年级课时练习）已知中，，，点M为直线上任意一点，过点C作交于点D，在上取一点N使，连接 （1）如图，M、N在线段上，求证：； （2）若M、N分别在、的延长线上时，试画出图形，并说明（1）中的结论是否成立？ 4．（2022秋·吉林·八年级吉林省第二实验学校校考期中）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm．点P从A点出发沿A﹣C﹣B路径向终点运动，终点为B点；点Q从B点出发沿B﹣C﹣A路径向终点运动，终点为A点．点P和Q分别以1cm/s和xcm/s的运动速度同时开始运动，两点都要到相应的终点时才能停止运动，在某时刻，分别过P和Q作PE⊥l于E，QF⊥l于F （1）如图1，当x＝2时，设点P运动时间为ts，当点P在AC上，点Q在BC上时， ①用含t的式子表示CP和CQ，则CP＝　　cm，CQ＝　　cm； ②当t＝2时，△PEC与△QFC全等吗？并说明理由； （2）请问：当x＝3时，△PEC与△QFC有没有可能全等？若能，直接写出符合条件的t值：若不能，请说明理由． 5．（2023秋·湖北孝感·八年级统考期末）阅读理解：在通过构造全等三角形解决的问题中，有一种典型的方法是倍延中线法． 如图1，是的中线，，，求的取值范围．我们可以延长到点，使，连接，易证，所以．接下来，在中利用三角形的三边关系可求得的取值范围，从而得到中线的取值范围是______； 类比应用：如图2，在四边形中，，点是的中点．若是的平分线，试判断，，之间的等量关系，并说明理由； 拓展创新：如图3，在四边形中，，与的延长线交于点，点是的中点，若是的平分线，试探究，，之间的数量关系，请直接写出你的结论． 6．（2022秋·八年级课时练习）阅读理解：课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题:在中，，，求边上的中线的取值范围． （1）小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法（如图1）:①延长到Q使得； ②再连接，把、、集中在中；③利用三角形的三边关系可得，则的取值范围是___________． 感悟：解题时，条件中若出现“中点”“中线”等条件，可以考虑倍长中线，构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中． （2）请写出图1中与的位置关系并证明； （3）思考：已知，如图2，是的中线，，，，试探究线段与的数量和位置关系，并加以证明． 7．（2022秋·山东潍坊·八年级统考期中）（1）如图1，中，若，，求边上的中线的取值范围； （2）如图2，四边形中，，，，以为顶点作，交边，于点，．，，三条线段之间有何数量关系？证明你的结论； （3）如图3，在（2）的条件下，若将，分别改在，的延长线上，其余条件不变，则，，之间有何数量关系（直接写出结论，不必证明）． 8．（2022秋·青海西宁·八年级青海师大附中校考阶段练习）如图1，，，，，连接、，交于点． （1）写出和的数量关系及位置关系，并说明理由； （2）如图2，连接，若、分别平分和，求的度数； （3）如图3，连接、，设的面积为，的面积为，探究与的数量关系，并说明理由． 9．（2022春·北京朝阳·八年级北京市陈经纶中学校考期中）新知学习：若一条线段把一个平面图形分成面积相等