专题3.2 双曲线（4类必考点）-2023-2024学年高二数学必考点分类集训系列（人教A版2019选择性必修第一册）

专题3.2 双曲线 【考点1：双曲线的定义与标准方程】 1 【考点2：双曲线的焦点三角形问题】 3 【考点3：双曲线的几何性质】 5 【考点4：与双曲线有关的最值或范围问题】 7 【考点1：双曲线的定义与标准方程】 【知识点：双曲线的定义】 平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距． 集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0. (1)当2a<|F1F2|时，P点的轨迹是双曲线； (2)当2a＝|F1F2|时，P点的轨迹是两条射线； (3)当2a>|F1F2|时，P点不存在． 【知识点：双曲线的标准方程】 (1)中心在坐标原点，焦点在x轴上的双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)； (2)中心在坐标原点，焦点在y轴上的双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)． 待定系数法求双曲线方程的五种类型 类型一 与双曲线－＝1有公共渐近线的双曲线方程可设为－＝λ(λ≠0) 类型二 若已知双曲线的一条渐近线方程为y＝x或y＝－x，则可设双曲线方程为－＝λ(λ≠0) 类型三 与双曲线－＝1共焦点的双曲线方程可设为－＝1(－b2<k<a2) 类型四 过两个已知点的双曲线的标准方程可设为－＝1(mn>0)或者＋＝1(mn<0) 类型五 与椭圆＋＝1(a>b>0)有共同焦点的双曲线方程可设为－＝1(b2<λ<a2) 1．（2023·江苏·高二假期作业）已知，，则动点P的轨迹是（　　） A．双曲线 B．双曲线左支 C．一条射线 D．双曲线右支 2．（2023秋·高二课时练习）已知点，动点满足，则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 3．（多选）（2023·江苏·高二假期作业）设分别是双曲线的左、右焦点，若点P在双曲线上，且，则（　　） A．5 B．3 C．7 D．6 4．（2023·全国·高二专题练习）根据下列条件，求双曲线的标准方程： (1)以椭圆短轴的两个端点为焦点，且过点； (2)经过点和． 5．（2023·全国·高二课堂例题）根据下列条件，求双曲线的标准方程： (1)，经过点； (2)以椭圆长轴的端点为焦点，且经过点； (3)过点，且焦点在坐标轴上. 6．（2023·全国·高二专题练习）求下列动圆的圆心的轨迹方程： (1)与圆和圆都内切； (2)与圆内切，且与圆外切； (3)在中，，，直线，的斜率之积为，求顶点的轨迹方程. 【考点2：双曲线的焦点三角形问题】 【知识点：双曲线的焦点三角形问题】 (1)双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形称为焦点三角形．解决焦点三角形问题常利用双曲线的定义和正弦定理、余弦定理． (2)以双曲线－＝1(a>0，b>0)上一点P(x0，y0)(y0≠0)和焦点F1(－c,0)，F2(c,0)为顶点的△PF1F2中，若∠F1PF2＝θ，则 ①||PF1|－|PF2||＝2a. ②4c2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|·cos θ. ③S△PF1F2＝|PF1||PF2|·sin θ. 1．（2023·全国·高二专题练习）已知分别是双曲线的左、右焦点，是坐标原点，点是双曲线上一点，且，则（    ） A． B． C． D． 2．（2023春·江西宜春·高二校联考期末）已知，分别为双曲线：的左、右焦点，左右顶点分别为，离心率为，点为双曲线C上一点，直线的斜率之和为，的面积为，则（    ） A． B． C． D． 3．（2023·全国·高二专题练习）已知点分别为双曲线的左､右焦点，过点的直线交双曲线的右支第一象限于点，若的内切圆的半径为1，则直线的斜率为（    ） A． B． C．1 D． 4．（2023春·陕西安康·高二校联考期末）设，为双曲线的两个焦点，点在双曲线上，且满足，则的面积是 5．（2023·全国·高二专题练习）设双曲线的左、右焦点分别为，，为双曲线右支上一点，且，则的大小为 ． 6．（2023·全国·高二课堂例题）已知双曲线的方程是，点P在双曲线上，且到其中一个焦点的距离为10，点N是的中点，O为坐标原点，则 . 7．（2023·江苏·高二假期作业）设点P在双曲线上，为双曲线的两个焦点，且，则的周长等于 ， ． 8．（2023秋·高二单元测试）双曲线的左、右两焦点分别为，点在双曲线上，且，求的面积． 【考点3：双曲线的几何性质】 【知识点：双曲线的几何性质】 标准方程 －＝1(a>0，b>0) －＝1(a>0，b>0) 图形 性质 范围 x≥a或x≤－a，y∈R y≤