22.1 二次函数的图像和性质（讲+练，8题型）-【题型分类归纳】2023-2024学年九年级数学上册同步讲与练（人教版）

22.1 二次函数的图像与性质 一、二次函数的概念 1、概念：一般地，形如（,,是常数，）的函数，叫做二次函数。其中是二次项系数，是一次项系数，是常数项。 注：和一元二次方程类似，二次项系数，而,可以为0。二次函数的定义域是全体实数。 2、形式转换： （1）二次函数用配方法可化成： 的形式，其中，，； （2）二次函数的形式： ① ② ③ ④ ⑤. 3、二次函数解析式的表示方法 （1）一般式：（,,是常数，） （2）顶点式： (,,为常数，） （3）交点式：是抛物线与轴两交点的横坐标） 注：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式。只有抛物线与轴有交点，即时，才可以用交点式表示。 二、二次函数的图象与性质 1、二次函数基本形式的图象与性质：的绝对值越大，抛物线的开口越小. 2、的图象与性质：上加下减 3、二次函数的图象与性质：左加右减 4、二次函数的图象与性质 5、二次函数的图像与性质 （1）抛物线的三要素：开口方向，对称轴，顶点 ①决定了抛物线开口的大小和方向。 当时，抛物线开口向上，越大，开口越小，反之的值越小，开口越大； 当时，抛物线开口向下，越小，开口越小，反之的值越大，开口越大； 相等，抛物线的开口大小、形状相同。 注：的符号决定开口方向，的大小决定开口的大小。 ②对称轴：平行于轴（或重合）的直线，记作. 特别地，轴记作直线. ③顶点坐标为． （2）抛物线中，的作用 ①决定开口方向及开口大小，这与中的完全一样. ②和共同决定抛物线对称轴位置 由于抛物线的对称轴是直线，故： 如果时，对称轴为轴； 如果（即、同号）时，对称轴在轴左侧； 如果（即、异号）时，对称轴在轴右侧。 ③的大小决定抛物线与轴交点的位置 当时，，所以抛物线与轴有且只有一个交点（0，），故 如果，抛物线经过原点；如果，与轴交于正半轴；如果，与轴交于负半轴。 （3）二次函数图象的画法 ①画精确图-五点绘图法（列表-描点-连线） 利用配方法将二次函数化为顶点式，确定开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图； ②画草图：开口方向，对称轴，与轴的交点，顶点。 （4）二次函数图象的平移 平移步骤：①将抛物线解析式转化成顶点式，确定其顶点坐标； ②可以由抛物线经过适当的平移得到具体平移方法如下： 平移规律：概括成八个字“左加右减，上加下减”。 三、用待定系数法求二次函数的解析式 1、已知图象上三点或三对、的值，通常选择一般式： ； 2、知图象的顶点或对称轴，通常选择顶点式：； 3、已知图象与轴的交点坐标、，通常选择交点式：。 四、求抛物线的顶点、对称轴的方法 1、公式法：，∴顶点是，对称轴是直线； 2、配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为的形式，得到顶点为，对称轴是直线； 3、运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点。 题型一 列二次函数关系式 【例1】共享单车为市民出行带来了方便，某单车公司第一个月投放a辆单车，计划第三个月投放y辆单车，设该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为x，则y与x的函数关系式是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】用长为的绳子围成一个长方形，设长方形的面积为y ，一边长为，用含有x的代数式表示y为 ，自变量x的取值范围是 ． 【变式1-2】如图，，，，四边形是的内接矩形，如果的长为，矩形的面积为，则与的函数关系式为 ． 【变式1-3】某化工厂月份生产某种产品，月份生产这种产品，则与产品产量的月平均增长率之间的函数关系式是 ． 【变式1-4】观察下列两个两位数的积（两个乘数的十位上的数都是9，个位上的数的和等于10）：．设这两个两位数的积为y，其中一个乘数为，则y关于x的函数关系式为 ． 题型二 二次函数的识别 【例2】下列函数中，是二次函数的是（　　） A． B． C． D． 【变式2-1】下列函数中不属于二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】下列函数中，常量3表示二次项系数的是（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】二次函数的二次项系数是（    ） A． B． C． D． 【变式2-4】下列函数中（x，t为自变量），哪些是二次函数？如果是二次函数，请指出二次项、一次项系数及常数项． （1）； （2）； （3）； （4）． 题型三 根据二次函数的定义求参数 【例3】函数是关于的二次函数，则的值为(      ) A． B． C． D． 【变式3-1】关于x的函数是二次函数的条件是（　　） A． B． C． D． 【变式3-2】已知关于的二次函数