第一章 有理数 重难点题型汇总第二部分讲义 2023－2024学年人教版数学七年级上册

精编人教版第一章有理数重难点题型汇总及答案解析 第二部分（第一章共二个部分） 小专题7 绝对值与分类讨论思想 小专题8 绝对值与最值问题 小专题9 数轴与点的距离问题 小专题10 数轴与动点问题（一）行程问题 小专题11 数轴与动点问题（二）和差倍分问题 小专题12 数轴与动点问题（三）动点定值问题 第一章有理数 小专题7 绝对值与分类讨论思想 [方法技巧]运用零点分段法分类讨论解决多绝对值问题. [例]阅读下列材料并解决有关问题. 我们知道|x|＝ 现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式.例如:化简代数式|x+1|+|x-2|时，可令x+1＝0和x-2＝0，分别求得x＝-1和x＝2（称-1，2分别为|x+1|与|x-2|的零点值）.在有理数范围内，零点值x＝-1和x＝2可将全体有理数分成不重复且不遗漏的如下3种情况:① x＜-1;② -1≤x＜2;③ x≥2. 从而在化简代数式|x+1|+|x-2|时，可分以下三种情况: ① 当x＜-1时，原式＝-（x+1）-（x-2）＝-2x+1; ② 当-1≤x＜2时，原式＝（x+1）-（x-2）＝3; ③ x≥2时，原式＝（x+1）+（x-2）＝2x-1. 通过以上阅读，请你解决问题: （1）|x+2|和|x-4|的零点值是____________; （2）化简代数式|x+2|+|x-4|; （3）解方程|x+2|+|x-4|＝10. 归纳总结: 1.在解决有关绝对值问题时，去绝对值是关键，一般需分类讨论; 2.对于多绝对值问题，则采取零点分段法，分类讨论去绝对值. 1.（1）|x-12|和|x+4|的零点值是____________; （2）化简代数式|x-12|+|x+4|; （3）解方程|x-12|+|x+4|＝20; （4）若|x-12|＝2|x+1|+4，直接写出x的值为____________. 1 小专题8 绝对值与最值问题 [方法技巧]利用数形结合及分类讨论思想解决绝对值最值问题. [例]认真阅读下面的材料，完成有关问题. 材料:在学习绝对值时，老师教过我们绝对值的几何意义，如|5-3|表示5，3在数轴上对应的两点之间的距离;15+3|＝|5-（-3）|，所以|5+3|表示5，-3在数轴上对应的两点之间的距离;|5|＝|5-0|，所以|5|表示5在数轴上对应的点到原点的距离.一般地，点A，B在数轴上分别表示有理数a，b，那么A，B之间的距离可表示为|a-b|. （1）点A，B，C在数轴上分别表示有理数x，-2，1，那么A到B的距离与A到C的距离之和可表示为_____________（用含绝对值的式子表示）; （2）利用数轴探究: ① |x-3|+|x-2|的最小值是________; ② 求|x-3|+|x-2|+|x+1|的最小值以及此时x的值. 归纳总结: 对于几个绝对值之和的最值问题，一般可借助数轴，将绝对值之和转化为数轴两点之间的距离之和，运用数形结合的思想以及分类讨论思想来解决. 1.利用数轴探究: （1）|x-1|+|x-2|的最小值为______; （2）|x-1|+|x-2|+|x-3|的最小值为_________; （3）|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-2020|的最小值为________，此时x的取值范围为______ ________ 小专题9 数轴与点的距离问题 [方法技巧]熟练掌握数轴上两点间的距离的表示方法，运用分类讨论思想及方程思想解题. [例]如图，A，B，C是数轴上的三点（点B在点A的右边），点A表示的数为-8，A，B两点的距离AB是点A到原点O的距离OA的3倍，即AB＝3OA. （1）求点B表示的数; （2）若AC+BC＝32，求点C表示的数; （3）若AC＝3BC，求点C表示的数. 归纳总结： 数轴上点的距离问题的处理方法: 通常可将要求的点表示的数设为x，用含x的式子表示出两点之间的距离，根据距离关系建立绝对值方程，或运用分类讨论思想列方程求解。 1.如图，点A，B在数轴上表示的数分别为-4和+16，A，B两点间的距离可记为AB. （1）点C在数轴上A，B两点之间，且AC＝BC，则点C对应的数是 ; （2）点C在数轴上A，B两点之间，且BC＝3AC，求点C对应的数; （3）点C在数轴上，且AC+BC＝30，求点C对应的数？ 小专题10 数轴与动点问题（