21.3 实际问题与一元二次方程 ---面积问题 课件2023-2024学年人教版九年级数学上册

21.3 实际问题与一元二次方程 面积问题 学习目标 新课引入 新知学习 课堂小结 1 2 3 4 1.能通过构建一元二次方程模型解决几何图形面积问题. 重点 学习目标 2.发现问题中的等量关系. 难点 新课引入 之前我们已经学习了一元二次方程解决实际问题的一般步骤，请根据所学知识解决下面的问题: 一个矩形的长和宽相差3cm，面积是4cm2.求这个矩形的长和宽. xcm (x-3)cm 等量关系：长×宽=x(x-3)=4 解： 设矩形长为xcm，宽为(x-3)cm. 依题意得: x(x-3)=4 整理得: x2-3x-4=0 解得: x1=4，x2=-1(舍去) 答：长为4cm，宽为1cm. 边长不能为负，不符合实际 探究 如图，要设计一本书的封面，封面长27cm，宽21cm，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形.如果要使四周的边衬所占面积是封面面积的四分之一，上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度？(精确到0.1cm) 27cm 21cm 新知学习 中央图形长×中央图形宽= 中央图形长 ：中央图形宽=9a ：7a 封面长 ：封面宽=9 ：7 上下边衬 ：左右边衬=9 ：7 分析：封面的长宽之比是 27:21＝9:7，中央的矩形的长宽之比也应是9:7. 设中央的矩形的长和宽分别是 9a cm和 7a cm，由此得上、下边衬与左、右边衬的宽度之比是　 ＝9:7 27cm 21cm 解：设上下边衬的宽为 9x cm，左右边衬的宽为 7x cm，则中央长方形的长为(27-18x)cm，中央长方形的宽为(21-14x)cm，依题意得 整理，得 解方程，得 所以x1≈2.8，x2≈0.2 所以9x1=25.2(舍去)，9x2=1.8，7x2=1.4 上下边衬过于大，不符合题意 ∴上、下边衬的宽均为 1.8 cm ，左、右边衬的宽均为 1.4 cm 思考 如果换一种设未知数的方法，是否可以更简单地解决上面的问题？请你试一试． 解： 设正中央的矩形两边长分别为 9x cm，7x cm. 依题意得 解得 故上下边衬的宽度为： 左右边衬的宽度为： 例1 如图，在一块宽为 20m，长为 32m 的矩形地面上修筑同样宽的两条道路，余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为 540m2，则道路的宽为多少？ 20 32 x x 20-x 32-x 利用“图形经过移动，它的面积大小不会改变”的性质，把纵、横两条路移动一下，使图形变成规则的，则列方程就容易些 解：设道路的宽为 x 米，则实际宽为 (32-x)cm，实际长为(20-x)cm. (32-x)(20-x)=540 整理，得 x2-2x+100=0 解得 x1=2，x2=50 当x=50时，32-x=-18（不合题意，舍去）. ∴取x=2. 答：道路的宽为2米. 20 32 x x 20-x 32-x 20 32 x x 20-x 32-x lenovo (l) - 加1个题 作为 例2 篱笆问题 例2 如下图，利用一面墙(墙的长度不限)，用20 m长的篱笆，怎样国成一个面积为50m2的矩形场地？ 解：设与墙垂直的篱笆长为xm，则与墙平行的 篱笆长为(20-2x)m. 由题意得：x(20-2x)=50， 整理得： x2-10x+25=0， 解得： x1=x2=5，所以20-2x=10. 答： 用20m长的篱笆围成一个长为10m，宽为5m的矩形(其中一边长10m，另外两边长5m). 1. 《田亩比类乘除捷法》是我国古代数学家杨辉的著作，其中有一个数学问题：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔几何”．意思是：一块矩形田地的面积为 864 平方步，只知道它的长与宽共 60 步，问它的长比宽多多少步？请解答上述问题． 解：设长为x步，则宽为(60－x)步，由题意，得x(60－x)＝864， 解得x1＝36，x2＝24(舍去)， ∴x＝36，60－x＝24， ∴长比宽多36－24＝12步．答：长比宽多12步． 随堂练习 2. 在宽为 28m，长为 30m 的矩形地面上修筑同样宽的道路，余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为 675m2，则这种方案下的道路的宽为多少？ 整理，得 x2 – 58x