1.1空间向量及其运算（八大题型）-2023-2024学年高二数学同步教学课件+练习（人教A版2019选择性必修第一册）

1.1空间向量及其运算 题型汇总 题型1：空间向量的概念 例1.下列关于空间向量的命题中，正确命题的个数是（    ） ①任一向量与它的相反向量都不相等； ②长度相等、方向相同的两个向量是相等向量； ③平行且模相等的两个向量是相等向量； ④若，则； ⑤两个向量相等，则它们的起点与终点相同． A．0 B．1 C．2 D．3 【变式1-1】下列说法正确的是（    ） A．若，则或 B．若为相反向量，则 C．零向量是没有方向的向量 D．若是两个单位向量，则 【变式1-2】下列命题是真命题的是（    ） A．若分别表示空间两向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量不是共面向量 B．的充要条件是A与C重合，B与D重合 C．若向量满足，且与同向，则 D．若两个非零向量与满足，则 题型2：空间向量的线性运算：加法与减法 例2.如图，E，F分别是长方体的棱AB，CD的中点、化简下列表达式，并在图中标出化简结果的向量： （1）；        （2）； （3）；        （4）． 【变式2-1】在图中，用，，表示，及． 【变式2-2】设有四边形ABCD,O为空间任意一点,且,则四边形ABCD是(　　) A．空间四边形 B．平行四边形 C．等腰梯形 D．矩形 【变式2-3】如图，已知四面体ABCD，E，F分别是BC，CD的中点，化简下列表达式，并在图中标出化简结果的向量； （1）；         （2）； （3）． 题型3：空间向量的线性运算：数乘运算 例3.如图，正方体的棱长为1，设，，，求： （1）；（2）；（3）． 【变式3-1】已知空间向量，，，化简 . 【变式3-2】如图，已知正方体，E，F分别是上底面和侧面的中心，求下列各式中x，y的值： （1）     （2） （3） 【变式3-3】如图，在平行六面体中，M为与的交点，若，则与相等的向量是（    ） A． B． C． D． 题型4：空间向量共线、共面问题 例4.1.证明：如果向量，共线，那么向量与共线． 例4.2.已知E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，用向量法证明：E，F，G，H四点共面. 【变式4-1】已知向量，，且，，，则一定共线的三点是（    ） A．A，B，D B．A，B，C C．B，C，D D．A，C，D 【变式4-2】有下列说法: ①若，则与，共面； ②若与，共面，则=x+y； ③若=x+y，则P，M，A，B共面； ④若P，M，A，B共面，则=x+y. 其中正确的是（    ） A．①②③④ B．①③④ C．①③ D．②④ 【变式4-3】已知，，是不共面向量，=2-+3，=-+4-2，=7+5+λ，若，，三个向量共面，则实数λ等于 . 题型5：数量积的概念及其运算 例5.如图，已知四面体ABCD的所有棱长都等于a，E，F，G分别是棱AB，AD，DC的中点．求： （1）；    （2）；    （3）；    （4）； （5）；    （6）． 【变式5-1】（多选）设，为空间中的任意两个非零向量，下列各式中正确的有（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】已知棱长为1的正方体的上底面的中心为，则的值为（    ） A． B．0 C．1 D．2 【变式5-3】已知向量，满足，，且.则在上的投影向量的坐标为 . 题型6：利用空间向量的数量积解决向量夹角问题 例6.在正三棱柱中，若，则与所成的角的大小是（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】若空间四边形的四个面均为等边三角形，则的值为 A． B． C． D．0 【变式6-2】如图，在正方体中，求向量与的夹角的大小． 【变式6-3】已知空间向量满足，，则与的夹角为（    ） A．30° B．45° C．60° D．以上都不对 【变式6-4】已知向量，且，，，则使向量与的夹角为钝角的实数的取值范围是 ． 题型7：利用空间向量的数量积解决距离或长度问题 例7.如图，在平行六面体中，，，，，．求： （1）；    （2）的长；    （3）的长． 【变式7-1】已知矩形中，，，将矩形沿对角线折起，使平面与平面垂直，则（    ）． A． B． C． D．2 【变式7-2】如图，线段AB，BD在平面内，，，且，，．求C，D两点间的距离． 【变式7-3】如图，已知平行六面体中，底面ABCD是边长为1的正方形，，． (1)求线段的长； (2)求异面直线与所成角的余弦值； 题型8：利用空间向量的数量积解决垂直问题 例8.如图，空间四边形中，.求证：. 【变式8-1】用向量方法证明：在平面内的一条直线，如果与这个平