1.2.1-1.2.4 有理数复习提升课-2023-2024学年七年级数学上册同步讲义+强化训练堂堂清（人教版）

七年级数学上分层优化堂堂清 第一章 有理数 1.2.1---1.2.4复习提升课 老师对你说： 一.有理数 1．按照性质分类： 2．按照符号分类： 3．按小数分类： 注意：正数和0统称为非负数；负数和零统称为非正数 二、数轴 1．数轴： （1）概念：在数学中,可以用一条直线上的点表示数,它规定了原点、正方向和单位长度,这条直线叫做数轴； （2）三要素： ①原点：在直线上任取一个点表示数0,这个点叫做原点； ②正方向：通常规定直线上从原点向右（或向上）为正方向,从原点向左（或向下）为负方向； ③单位长度：直线上从原点向右,每隔一个单位长度取一个点,依次表示1,2,3……；从原点向左,用类似的方法,依次表示 2．数轴上的点与有理数的关系 （1）所有的有理数都可以用数轴上的点来表示,正有理数可用原点右边的点表示,负有理数可用原点左边的点表示,0用原点表示。 （2）所有的有理数都可以用数轴上的点表示出来,但数轴上的点不都表示有理数,也就是说,有理数与数轴上的点不是一一对应关系。（如,数轴上的点π不是有理数） 3．利用数轴表示两数大小 ①在数轴上数的大小比较,右边的数总比左边的数大； ②正数都大于0,负数都小于0,正数大于负数； ③两个负数比较,距离原点远的数比距离原点近的数小。 4．可以表示什么数 （1）,表示是正数；反之,是正数,则； （2）,表示是负数；反之,是负数,则 （3）,表示是0；反之,是0,则 三、相反数 １．相反数的概念：只有符号不同的两个数，叫做互为相反数，其中一个是另一个的相反数，0的相反数是0。 注意以下几点： ⑴相反数是成对出现的； ⑵相反数只有符号不同，若一个为正，则另一个为负； ⑶0的相反数是它本身；相反数为本身的数是0。 ２．相反数的性质与判定 ⑴任何数都有相反数，且只有一个； ⑵0的相反数是0； ⑶互为相反数的两数和为0，和为0的两数互为相反数，即a，b互为相反数，则a+b=0； ⑷互为相反数的非零两数商为负1，即a，b互为相反数，则=1（a0，b0））。 ３．相反数的几何意义:在数轴上与原点距离相等的两点表示的两个数，是互为相反数；互为相反数的两个数，在数轴上的对应点（0除外）在原点两旁，并且与原点的距离相等。0的相反数对应原点；原点表示0的相反数。说明：在数轴上，表示互为相反数的两个点关于原点对称。 ４．相反数的求法 ⑴求一个数的相反数，只要在它的前面添上负号“”即可求得（如：5的相反数是5）； ⑵求多个数的和或差的相反数是，要用括号括起来再添“”，然后化简（如；5a+b的相反数是（5a+b），化简得5ab）； ⑶求前面带“”的单个数，也应先用括号括起来再添“”，然后化简（如：5的相反数是（5），化简得5）。 ５．相反数的表示方法：一般地，数a的相反数是a，其中a是任意有理数，可以是正数、负数或0。 当a>0时，a<0（正数的相反数是负数）；当a<0时，a>0（负数的相反数是正数）； 当a=0时，a=0，（0的相反数是0）。 ６．多重符号的化简 多重符号的化简规律:“+”号的个数不影响化简的结果，可以直接省略；“”号的个数决定最后化简结果；即：“”的个数是奇数时，结果为负，“”的个数是偶数时，结果为正。 四、绝对值 １．绝对值的几何定义：一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做a的绝对值，记作|a|。 ２．绝对值的代数定义 ⑴一个正数的绝对值是它本身；⑵一个负数的绝对值是它的相反数；⑶0的绝对值是0。 可用字母表示为：①如果a>0，那么|a|=a；②如果a<0，那么|a|=a；③如果a=0，那么|a|=0。 可归纳为①：a≥0，<═>|a|=a（非负数的绝对值等于本身；绝对值等于本身的数是非负数）。 ②a≤0，<═>|a|=a（非正数的绝对值等于其相反数；绝对值等于其相反数的数是非正数）。 ３．绝对值的性质 （1）任何一个有理数的绝对值都是非负数，也就是说绝对值具有非负性。所以，a取任何有理数，都有|a|≥0。即： ⑴0的绝对值是0；绝对值是0的数是0．即：a=0<═>|a|=0； ⑵一个数的绝对值是非负数，绝对值最小的数是0．即：|a|≥0； ⑶任何数的绝对值都不小于原数。即：|a|≥a； ⑷绝对值是相同正数的数有两个，它们互为相反数。即：若|x|=a（a>0），则x=±a； ⑸互为相反数的两数的绝对值相等。即：|a|=|a|或若a+b=0，则|a|=|b|； ⑹绝对值相等的两数相等或互为相反数。即：|a|=|b|，则a=b或a=|b； ⑺若几个数的绝对值的和等于0，则这几个数就同时为0。即|a|+|b|=0，则a=0且b=0。 （非负数的常用性质：若几个非负数的和为0，则有且只有这几个非负数同时为0） ４．绝对值的化简 ①当a≥0时，|a|