专题提升一 与绝对值有关问题的解题策略-2023-2024学年七年级数学上册同步讲义+强化训练堂堂清（人教版）

七年级数学上分层优化堂堂清 第一章 有理数 专题一 与绝对值有关问题的解题策略 1.绝对值的定义：一般地，数轴上表示a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a|。 1.1 如果a>0时|a|=a;如果a<0时|a|=-a；如果a=0时|a|=0 1.2 绝对值相等的两个数，本身可以相等，也可以是相反数；即|a|=|b|，则得a=b或a=-b，特别注意a=b=0的情况。也要注意反推的情况，即：a=b或a=-b可以推出|a|=|b|或|a|=|-b|。 2.绝对值的非负性： 2.1 任何绝对值的考察，一定考虑0的特殊性，即a=0的情况 2.2 若|a|+|b|=0，则a=0且b=0；若|a|+b=0，则a=0且b=0；（其中a、b可以是单独的字母，也可以是表达式） 3.几何意义：|a|表示一个数a在数轴上对应的点与原点之间的距离 3.1:式子|x-y|表示的几何意义：表示数轴上的数x到数y的距离 3.2:式子|x+y|表示的意义：因为|x+y|=|x-(-y)|,所以可表示数轴上的数x到数-y的距离。 题型1 利用绝对值的性质化简求值 例1 .若|x|＝1，则x＝________． 【变式1-1】如果若|x－2|＝1，则x＝________． 【变式1-2】化简：. 题型2 根据绝对值的非负性求值 例2 .若|x-3|+|y+2|=0，则|x|+|y|=________． 【变式2-1】若有理数、满足，且，求的值． 【变式2-2】已知（a＋1）2＋|b＋5|＝b＋5，且|2a－b－1|＝1，则ab＝ ． 【变式2-3】若|a﹣1|+(b-3)2＝0，则b﹣a﹣的值是（　　） A．﹣4 B．﹣2 C．﹣1 D．1 题型3：绝对值的几何意义 例3 .已知有理数、在数轴上的对应点位置如图所示，请化简：____________． 【变式3-1】数轴上两点间的距离等于这两点所对应的数的差的绝对值．例：如图所示，点A、B在数轴上分别对应的数为a、b，则A、B两点间的距离表示为|AB|＝|a﹣b|． 根据以上知识解题： （1）若数轴上两点A、B表示的数为x、﹣1， ①A、B之间的距离可用含x的式子表示为　 　； ②若该两点之间的距离为2，那么x值为　 　． （2）|x＋1|＋|x﹣2|的最小值为　 　，此时x的取值是　 　； （3）已知|x＋1|＋|x﹣2|＝7时，x的取值是　 　． 【变式3-2】如图，在数轴上A点表示数a，B点表示数b，C点表示数c，且a，c满足以下关系式：，． (1)a=______；c=______； (2)若将数轴折叠，使得A点与B点重合，则点C与数______表示的点重合； (3)若点P为数轴上一动点，其对应的数为x，当代数式取得最小值时，此时x=______，最小值为______． 【变式3-3】我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”数形结合是解决数学问题的重要思想方法．例如，代数式的几何意义是数轴上x所对应的点与2所对应的点之间的距离；因为．所以的几何意义就是数轴上x所对应的点与－1所对应的点之间的距离． 发现问题：代数式的最小值是多少？ 探究问题：如图，点A，B，P别表示的是－1，2，x，AB＝3． 的几何意义是线段PA与PB的长度之和． ∴当点P在线段AB上时，PA＋PB＝3；当点P在点A的左侧或点B的右侧时，PA＋PB＞3， 的最小值是3． （1）解决问题，的值是 ． （2）的最小值是 ． （3）当a为何值时，代数式的最小值是2． 针对训练 1 .若|﹣x|=5，则x等于（　　） A．﹣5 B．5 C． D．±5 2 .如果|a|=a，下列各式成立的是（　　） A．a＞0 B．a＜0 C．a≥0 D．a≤0 3 .下列数中，使|x﹣2|=x﹣2成立的是（　　） A．﹣1 B．0 C．1 D．2 4. 若|a﹣1|=2，则a=　3或﹣1　． 5 .若有理数a、b满足|a+6|+（b﹣4）2=0，则a﹣b的值为　﹣10　． 6 .已知有理数a在数轴上的位置如图，则a+|a﹣1|=　 　． 7 .若有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，则|a﹣c|﹣|b+c|可化简为　 　． 8 .若，则_______． 9 .计算：已知|x|=，|y|=，且x＜y＜0，求6÷（x﹣y）的值． 　 10．如图，数轴上的三点A，B，C分别表示有理数a，b，c，化简|a﹣b|﹣|a+c|+|b﹣c|． 　 11．当a≠0时，请解答下列问题： （1）求的值； （2）若b≠0，且，求的值． 　 12．在数轴上表示a，0，1，b四个数的点如图所示，已知O为AB的中点． 求|a+b|++|a+1