期中专题02 空间向量与立体几何大题综合 -【备战期中必刷真题】2023-2024学年高二数学上学期期中考试真题必刷满分训练（新高考广东专用）

期中专题02 空间向量与立体几何大题综合 备考秘籍 1. 空间中的平行关系 （1） 线线平行 （2） 线面平行的判定定理： 平面外一直线与平面内一直线平行，则线面平行 （3） 线面平行的性质定理 若线面平行，经过直线的平面与该平面相交，则直线与交线平行 （4） 面面平行的判定定理 判定定理1：一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面，则面面平行 判定定理2：一个平面内有两条相交直线分别于另一个平面内两条相交直线平行，则面面平行 （5） 面面平行的性质定理 性质定理1：两平面互相平行，一个平面内任意一条直线平行于另一个平面 性质定理2：两平面互相平行，一平面与两平面相交，则交线互相平行 2. 空间中的垂直关系 （1） 线线垂直 （2） 线面垂直的判定定理 一直线与平面内两条相交直线垂直，则线面垂直 （3） 线面垂直的性质定理 性质定理1：一直线与平面垂直，则这条直线垂直于平面内的任意一条直线 性质定理2：垂直于同一个平面的两条直线平行 （4） 面面垂直的判定定理 一个平面内有一条直线垂直于另一个平面，则两个平面垂直（或：一个平面经过另一个平面的垂线，则面面垂直） （5） 面面垂直的性质定理 两平面垂直，其中一个平面内有一条直线与交线垂直，则这条直线垂直于另一个平面 3. 异面直线所成角 = （其中（）为异面直线所成角，分别表示异面直线的方向向量） 4. 直线与平面所成角，(为平面的法向量). 5. 二面角的平面角 （，为平面，的法向量）. 6. 点到平面的距离 （为平面的法向量，是经过面的一条斜线，）. 真题训练 一、解答题 1．（2022秋·广东江门·高二统考期中）已知向量，． (1)求； (2)求； 2．（2022秋·广东汕头·高二校考期中）已知，，，，，求： (1)，，； (2)与夹角的余弦值． 3．（2022秋·广东惠州·高二统考期中）已知． (1)若，求实数k的值； (2)若，求的值． 4．（2022秋·广东深圳·高二深圳市南头中学校考期中）如图，在棱长为2的正方体中，分别为，的中点，点在上，且． (1)求证：； (2)求EF与CG所成角的余弦值． 5．（2022秋·广东佛山·高二佛山市荣山中学校考期中）如图，在棱长为的正方体中，，分别是，上的动点，且． (1)求证：； (2)当三棱锥的体积取得最大值时，求平面与平面的夹角的正切值． 6．（2022秋·广东湛江·高二湛江二十一中校考期中）如图，在长方体中，，，点在棱上移动． (1)证明：； (2)求平面的法向量. (3)当为的中点时，求点到面的距离. 7．（2022秋·广东江门·高二江门市培英高级中学校考期中）如图，长方体中，以D为原点建立空间直角坐标系，已知，且，求异面直线与所成角的余弦值．    8．（2022秋·广东阳江·高二阳江市阳东区第一中学校考期中）如图，在四棱锥中，平面，CD⊥PD，AD//BC，AD＝CD＝1，BC＝2.，E为PD的中点，点F在PC上，且.    (1)求证：四边形ABCD为直角梯形； (2)求二面角的余弦值. 9．（2022春·广东江门·高二台山市第一中学校考期中）如图，在三棱锥中，.    (1)求证：平面平面； (2)若，，求为何值时，与平面所成角的正弦值为. 10．（2022秋·广东深圳·高二深圳市宝安中学（集团）校考期中）如图，已知是底面为正方形的长方体，，，为的中点， (1)求证：直线平面； (2)求异面直线与所成角的余弦值． 11．（2022秋·广东揭阳·高二惠来县第一中学校考期中）已知四棱锥中，底面是矩形，且，是正三角形，平面，、、、分别是、、、的中点． (1)求平面与平面所成角的大小； (2)线段上是否存在点，使得直线与平面所成角的大小为，若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 12．（2022秋·广东茂名·高二统考期中）在直四棱柱中，四边形为平行四边形，为的中点，，. (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值. 13．（2022秋·广东阳江·高二校联考期中）图1是直角梯形ABCD，，.以BE为折痕将折起，使点C到达C1的位置，且，如图2. (1)证明：平面平面ABED； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 14．（2022秋·广东阳江·高二校联考期中）如图，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，四边形ABCD是一个边长为2的菱形，∠DAB＝60°.侧棱DD1⊥平面ABCD，DD1＝3. (1)求二面角B-D1C-D的平面角的余弦值； (2)设E是D1B的中点，在线段D1C上是否存在一点P，使得AE∥平面PDB？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由. 15．（2022秋·广东深圳·高二深圳外国语学校校考期中）如图所示，在四棱锥中，底面为正方形，E为侧棱PC的中点． (1)设经过A、B、E三