第一章 集合与逻辑（知识清单+典型例题）-【满分全攻略】2023-2024学年高一数学同步讲义全优学案（沪教版2020必修第一册）

第一章 集合与逻辑（知识清单+典型例题） 【知识导图】 【知识清单】 【考点1：集合的概念】 （1）集合元素的三大特性：确定性、无序性、互异性． （2）元素与集合的两种关系：属于，记为；不属于，记为. （3）集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法、区间法 （4）五个特定的集合 集合 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 N*或N＋ 题型一：集合的基本概念 【例1】考察下列每组对象，能构成集合的是(　　) ①中国各地最美的乡村； ②直角坐标系中横、纵坐标相等的点； ③不小于3的自然数； ④2018年第23届冬季奥运会金牌获得者． A．③④　　　　 B．②③④ C．②③ D．②④ B　[①中“最美”标准不明确，不符合确定性，②③④中的元素标准明确，均可构成集合，故选B.] 【规律方法】判断一组对象能否组成集合的标准 判断一组对象能否组成集合，关键看该组对象是否满足确定性，如果此组对象满足确定性，就可以组成集合；否则，不能组成集合.同时还要注意集合中元素的互异性、无序性. 题型二：元素与集合的关系 【例2】已知集合A＝{x|x＝m2﹣n2，m∈Z，n∈Z}．求证： （1）3∈A； （2）偶数4k﹣2（k∈Z）不属于A． 分析：（1）根据集合中元素的特性，判断3是否满足即可； （2）用反证法，假设属于A，再根据两偶数的积为4的倍数；两奇数的积仍为奇数得出矛盾，从而证明要证的结论． 解答：解：（1）∵3＝22﹣12，3∈A； （2）设4k﹣2∈A，则存在m，n∈Z，使4k﹣2＝m2﹣n2＝（m+n）（m﹣n）成立， 1、当m，n同奇或同偶时，m﹣n，m+n均为偶数， ∴（m﹣n）（m+n）为4的倍数，与4k﹣2不是4的倍数矛盾． 2、当m，n一奇，一偶时，m﹣n，m+n均为奇数， ∴（m﹣n）（m+n）为奇数，与4k﹣2是偶数矛盾． 综上4k﹣2∉A． 点评：本题考查元素与集合关系的判断．分类讨论的思想． 【规律方法】判断元素与集合关系的2种方法 1直接法：如果集合中的元素是直接给出，只要判断该元素在已知集合中是否出现即可. 2推理法：对于一些没有直接表示的集合，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可，此时应首先明确已知集合中的元素具有什么特征. 题型三：集合中元素的互异性 【例3】已知集合A含有两个元素1和a2，若a∈A，求实数a的值． [解]　由题意可知，a＝1或a2＝a， (1)若a＝1，则a2＝1，这与a2≠1相矛盾，故a≠1. (2)若a2＝a，则a＝0或a＝1(舍去)，又当a＝0时，A中含有元素1和0，满足集合中元素的互异性，符合题意． 综上可知，实数a的值为0. 【规律方法】1．解决含有字母的问题，常用到分类讨论的思想，在进行分类讨论时，务必明确分类标准． 2．本题在解方程求得a的值后，常因忘记验证集合中元素的互异性，而造成过程性失分． 【温馨提醒】解答此类问题易忽视互异性而产生增根的情形． 题型四：知元素是集合的元素，根据集合的属性求出相关的参数． 【例4】已知集合A＝{a+2，2a2+a}，若3∈A，求实数a的值． 分析：通过3是集合A的元素，直接利用a+2与2a2+a＝3，求出a的值，验证集合A中元素不重复即可． 解答：解：因为3∈A，所以a+2＝3或2a2+a＝3…（2分） 当a+2＝3时，a＝1，…（5分） 此时A＝{3，3}，不合条件舍去，…（7分） 当2a2+a＝3时，a＝1（舍去）或，…（10分） 由，得，成立…（12分） 故…（14分） 点评：本题考查集合与元素之间的关系，考查集合中元素的特性，考查计算能力． 【规律方法】 集合中元素的互异性常常容易忽略，求解问题时要特别注意．分类讨论的思想方法常用于解决集合问题． 题型五：用列举法表示集合 【例5】　用列举法表示下列给定的集合： (1)不大于10的非负偶数组成的集合A； (2)小于8的质数组成的集合B； (3)方程2x2－x－3＝0的实数根组成的集合C； (4)一次函数y＝x＋3与y＝－2x＋6的图象的交点组成的集合D. [解]　(1)不大于10的非负偶数有0,2,4,6,8,10，所以A＝{0,2,4,6,8,10}． (2)小于8的质数有2,3,5,7， 所以B＝{2,3,5,7}． (3)方程2x2－x－3＝0的实数根为－1，， 所以C＝. (4)由得 所以一次函数y＝x＋3与y＝－2x＋6的交点为(1,4)， 所以D＝{(1,4)}． 【规律方法】 用列举法表示集合的3个步骤 1求出集合的元素； 2把元素一一列举出来，且相同元素只能列举一次； 3用花括号括起来. 【温馨提醒】二元方程组的解集，函数图象上的点构成的集合都是点的集合，一定要写成实数对的形式，元素与元素之间用“，”隔