11.2 与三角形有关的角（讲+练，11题型）-【重要笔记】2023-2024学年八年级数学上册重要考点精讲精练（人教版）

11.2 与三角形有关的角 三角形内角和定理：三角形的内角和为180°． 注意：应用三角形内角和定理可以解决以下三类问题： ①在三角形中已知任意两个角的度数可以求出第三个角的度数； ②已知三角形三个内角的关系，可以求出其内角的度数； ③求一个三角形中各角之间的关系． 题型1：三角形的内角和定理 1.△ABC中，∠A＝60°，∠B＝80°，则∠C的度数为（　　） A．80° B．40° C．60° D．50° 【变式1-1】如图，三角形有一部分被墨迹所遮挡，观察可判断三角形的形状为 三角形．（填“锐角”、“直角”或“钝角”）      【变式1-2】在中，已知，则∠C的度数是（    ） A． B． C． D． 三角形的外角 定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角．如图，∠ACD是△ABC的一个外角. 性质： （1）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和． （2）三角形的一个外角大于任意一个与它不相邻的内角． 3.三角形的外角和： 三角形的外角和等于360°. 注意： (1)外角的特征： ①顶点在三角形的一个顶点上； ②一条边是三角形的一边；③另一条边是三角形某条边的延长线． （2）三角形每个顶点处有两个外角，它们是对顶角．所以三角形共有六个外角，通常每个顶点处取一个外角，因此，我们常说三角形有三个外角． （3）因为三角形的每个外角与它相邻的内角是邻补角，由三角形的内角和是180°，可推出三角形的三个外角和是360° 题型2：三角形的外角性质和外角和 2.如图，在△DEF中，点C在DF的延长线上，点B在EF上，且AB∥CD，∠EBA＝60°，则∠E+∠D的度数为（　　） A．60° B．30° C．90° D．80° 【变式2-1】图中 ．    【变式2-2】三角尺和直尺按如图放置在一起，已知，．若，则的度数为 ．    题型3：三角形的内角和定理的应用-方程 3.在△ABC中， ，求∠A、∠B、∠C的度数. 【变式3-1】如果三角形的三个内角分别是x°，y°，y°，那么x，y满足的关系式是 ． 【变式3-2】在中，，设的度数为，的度数为． （1）求与的函数表达式； （2）若是锐角三角形，请确定的取值范围． 题型4：三角形的内角和定理的应用-三角板 4.小明在数学课上，将文具盒中的直角三角板与一直尺放置如图，若测得∠AEF＝50°，那么∠BDA＝ （　　） A．20° B．40° C．50° D．60° 【变式4-1】将一副三角板按图中方式叠放，则∠的度数为（  ） A．85° B．95° C．105° D．115° 【变式4-2】将一副三角尺按如图所示的方式摆放，则的大小为　 　． 题型5：三角形的内角和定理的应用-高、角平分线 5.如图，AF，AD分别是 的高和角平分线，且 ， ，求 的度数. 【变式5-1】如图，在中，平分，平分，平分，平分，若，则等于（　　） A．30° B．35° C．50° D．85° 【变式5-2】如图，在中，，，是的角平分线，是中边上的高．    （1）求的度数； （2）求的度数． 题型6：三角形的内角和定理的应用-平行线 6.已知：如图， ，点E在AC上.求证： . 【变式6-1】如图，，平分，平分，，求的度数．    【变式6-2】如图，点E在上，点F在的延长线上，与交于点G，，平分． （1）求证：； （2）若，求的度数． 题型7：三角形的内角和定理的应用-多角和 7.如图，五角星的顶点为A、B、C、D、E，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数为（　　） A．90° B．180° C．270° D．360° 【变式7-1】如图，在五边形中，若去掉一个的角后得到一个六边形，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【变式7-2】如图，，则（　　）    A． B． C． D． 题型8：三角形的内角和定理的应用-数量关系 8.（双外角模型）如图所示，∠ACD是△ABC的外角，∠A=40°，BE平分∠ABC，CE平分∠ACD，且BE、CE交于点E． （1）求∠E的度数． （2）请猜想∠A与∠E之间的数量关系，请说明理由． 【变式8-1】如图，AB∥CD，点E在两平行线上方，连接AE、CE，此时∠A、∠C、∠E有什么样的数量关系？ 题型9：三角形的内角和定理的应用-新定义 9.定义：等腰三角形的一个底角与其顶角的度数的比值 称为这个等腰三角形的“优美比”．若在等腰三角形 中， 则它的优美比 为（　　） A． B． C． D． 【变式9-1】我们给出定义：若三角形中一个内角是另一个内