第08讲 用空间向量解决立体几何问题的六种题型-2024年高考数学复习大题题型归纳与满分秘籍（新高考版）

第08讲 用空间向量解决立体几何问题的六种题型 考法呈现 考法一：用空间向量证明平行或垂直 例题分析 【例1-1】 如图所示，已知矩形和矩形所在的平面互相垂直，点，分别在对角线，上，且，．求证：. 【分析】根据面面垂直的性质定理推出平面，进一步推出，再根据空间向量可证. 【详解】在矩形中，， 因为平面平面，且平面平面，平面， 所以平面，又因平面，所以， 又 ， 所以， 所以. 【例1-2】 在三棱台中，平面 为的中点．证明：平面平面． 【分析】建立如图所示的空间直角坐标系，由空间向量数量积坐标表示求出，即可证得，即平面，再由面面垂直的判定定理即可证明. 【详解】由题意可建立如图所示的空间直角坐标系， 则，所以． 因为， 所以，所以． 又平面，所以平面，又平面， 所以平面平面．    满分秘籍 用向量法证明异面直线垂直，可以用基向量法，也可以用空间直角坐标系。通过方向向量（或法向量）之间的关系证明垂直或平行。 变式训练 【变式1-1】如图，在直三棱柱中，点分别为线段的中点，．证明：平面． 【分析】根据已知条件建系，求平面的一个法向量和坐标进而证明线面垂直即可. 【详解】由直三棱柱可知平面， 因为平面，所以，又因为， 所以以为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系，    设，则， 所以，，， 设平面的法向量为，则， 令，则，即， 所以，即，所以平面． 【变式1-2】如图，已知六面体的面为梯形，，，，，棱平面，，，为的中点.    (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的大小. 【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用向量法证明线面平行； （2）求出平面的法向量后利用线面角的向量公式直接求解即可. 【详解】（1）因为平面ABCD，所以，，且， 建立如图所示的空间直角坐标系，      则 所以 设平面的法向量为， 则，令，解得，故， 所以，故， 又平面，所以平面. （2）由（1）得 设平面的法向量为则，令，解得， 故所以， 设直线与平面所成的角为，则又，所以. 【变式1-3】如图，在长方体中，，，点E在棱上移动．    (1)证明：； (2)当时，求与平面所成角的正弦值． 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法证得. （2）利用向量法求得与平面所成角的正弦值． 【详解】（1）以为原点建立如图所示空间直角坐标系， ，设， 所以， 所以. （2）当时，，， ，， 设平面的法向量为， 则，故可设， 设与平面所成角为， 则.    【变式1-4】如图所示，在正方体中，为与的交点，为的中点，求证：平面．    【分析】要证明平面GBD，只需证明垂直于平面GBD中的两条相交直线．易知，而中的G，O连接后的线段GO与垂直的可能性最大，故不妨尝试证明，由向量的数量积可知只需证明即可· 【详解】如图所示，连接，    设，，，则，，，． 因为， ， ， 所以 ， ， 所以，，即，． 又因为，平面，平面， 所以平面． 考法二：用空间向量解决异面直线成角问题 例题分析 【例2】已知三棱台，面，，，D是线段中点，且.    (1)证明：； (2)请选择合适的基底向量，求直线与所成角的余弦值. 【分析】（1）根据条件结合余弦定理先求出的长度，然后再证明与相似，从而可证明. （2）选取基底，分别表示出，求出模长和对应的数量积，由向量法可得出答案. 【详解】（1）证明：连接. 设，在中，由余弦定理得 ， 又，因为，所以，解得， 由于，且，所以， 所以，所以，即， 又因为，所以面，又因为面，所以.    （2）选取基底， ， ， ， ， 所以直线与所成角的余弦值为. 满分秘籍 1. 图示： 2. 计算公式： 3. 易错点：向量的夹角并不一定是异面直线的成角。 变式训练 【变式2-1】已知正方体，点为中点，直线交平面于点.    (1)证明：点为的中点； (2)若点为棱上一点，且直线与平面所成角的正弦值为，求的值. 【详解】（1）在正方体中，，又平面，且平面， 则平面，而交平面于点，即平面， 又平面，有平面，因此平面平面， 于是，而为中点， 所以为的中点. （2）以为坐标原点，方向分别为轴的正方向，建立空间直角坐标系，    不妨设正方体的棱长为3，设， 则, 从而， 设平面的一个法向量为，则 ,即,不妨取,则,即， 设直线与平面所成角为， 又直线与平面所成角的正弦值为， 因此，解得， 所以. 【变式2-2】如图，平行六面体的所有棱长都相等，平面平面ABCD，AD⊥DC，二面角的大小为120°，E为棱的中点． (1)证明：CD⊥AE； (2)点F在棱CC1上，平面BDF，求直线AE与DF所成角的余弦值． 【分析】（1）根据面面垂直可得线面垂直进而得线线垂直，由二面角定义可得，进而根据中点得线线垂直即可求， （2