14.3.2(1) 运用平方差公式因式分解-2023-2024学年八年级数学上册教学课件（人教版）

人教版初中数学八年级(上) 第14章 整式的乘法与因式分解 14.3 因式分解 14.3.2 公式法 运用平方差公式因式分解 探究新知 情境导入 要点归纳 典例精讲 查漏补缺 课堂小结 提升能力 想一想：多项式a2-b2有什么特点?你能将它分解因式吗? 是a,b两数的平方差的形式 整式乘法 因式分解 两个数的平方差,等于这两个数的和与这两个数的差的乘积. 平方差公式： 探究新知 知识点一 用平方差公式进行因式分解 (a+b)(a-b)=a2-b2 a2-b2=(a+b)(a-b) √ √ × × 辨一辨：下列多项式能否用平方差公式来分解因式，为什么？ √ √ ★符合平方差的形式的多项式才能用平方差公式进行因式分解,即能写成:( )2-( )2的形式. 两数是平方， 减号在中央． （1）x2+y2 （2）x2-y2 （3）-x2-y2 -(x2+y2) y2-x2 （4）-x2+y2 （5）x2-25y2 (x+5y)(x-5y) （6）m2-1 (m+1)(m-1) 基础训练 知识点一 用平方差公式进行因式分解 【例1-1】分解因式：(1)4x2-9；(2)(x+p)2-(x+q)2 a a b b ( + ) ( - ) a2 - b2 解:(1)原式= (2)原式 整体思想 a b 典型例题 知识点一 用平方差公式进行因式分解 方法总结：公式中的a,b无论表示数,单项式,还是多项式,只要被分解的多项式能转化成平方差的形式,就能用平方差公式因式分解. 解：(1)原式=(x2)2-(y2)2 =(x2+y2)(x2-y2) 分解因式后,一定要检查是否还有能继续分解的因式,若有,则需继续分解. =(x2+y2)(x+y)(x-y)； (2)原式=ab(a2-1) 分解因式时,一般先用提公因式法进行分解,然后再用公式法.最后进行检查. =ab(a+1)(a-1). 典型例题 知识点一 用平方差公式进行因式分解 【例1-2】分解因式： (1)x4-y4； (2)a3b-ab 方法总结：分解因式前应先分析多项式的特点,一般先提公因式，再套用公式.注意分解因式必须进行到每一个多项式都不能再分解因式为止. 【例1-3】已知x2-y2=-2,x+y-1,求x-y,x,y的值. ∴x-y=-2 ②. 解：∵x2-y2=(x+y)(x-y)=-2， x+y=1 ①， 联立①②组成二元一次方程组， 解得 典型例题 知识点一 用平方差公式进行因式分解 方法总结：在与x2－y2,x±y有关的求代数式或未知数的值的问题中,通常需先因式分解,然后整体代入或联立方程组求值. 【例1-4】计算下列各题： (1)1012－992； (2)53.52×4-46.52×4. 解：(1)原式=(101+99)(101-99)=400； (2)原式＝4(53.52－46.52) =4(53.5＋46.5)(53.5－46.5) ＝4×100×7=2800. 方法总结：较为复杂的有理数运算，可以运用因式分解对其进行变形，使运算得以简化. 典型例题 知识点一 用平方差公式进行因式分解 【例1-5】求证：当n为整数时,多项式(2n+1)2-(2n-1)2一定能被8整除. 即多项式(2n+1)2-(2n-1)2一定能被8整除． 证明：原式=(2n+1+2n-1)(2n+1-2n+1)=4n•2=8n， ∵n为整数， ∴8n被8整除， 【方法总结】解决整除的基本思路就是将代数式化为整式乘积的形式，然后分析能被哪些数或式子整除． 典型例题 知识点一 用平方差公式进行因式分解 平方差公式分解因式 公式 a2-b2=(a+b)(a-b) 步骤 一提：公因式； 二套：公式； 三查：多项式的因式分解有没有分解到不能再分解为止. 知识梳理 课堂小结 运用平方差公式因式分解 1.若a+b=3，a-b=7，则b2-a2的值为(　　) A．-21 B．21 C．-10 D．10 2.若将(2x)n-81分解成(4x2+9)(2x+3)(2x-3),则n的值是____. A 4 提升能力 强化训练 用平方差公式进行因式分解 3.分解因式： (1)(a+b)2-4a2； (2)9(m+n)2-(m-n)2. (3)5m2a4-5m2b4； (4)a2-4b2-a-2b. (5)(2mn)2-(3xy)2； (6)(x+z)2-(y+p)2 =(2m+4n)(4m+2n) (1)原式=(a+b-2a)(a+b+2a) =(b-a)(3a+b)； (2)原式