专题4.8 平行线分线段成比例（知识梳理与考点分类讲解）-2023-2024学年九年级数学上册基础知识专项突破讲与练（北师大版）

专题4.8 平行线分线段成比例（知识梳理与考点分类讲解） 【知识点1】平行线分线段成比例的基本事实 平行线分线段成比例的基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的线段对应成比例。 数学表达式：如图： 简单记为： 要点注意： （1） 所有成比例线段是指被截直线上的线段，与这组平行线上的线段无关； （2） 利用平行线分线段成比例的基本事实写比例式时，一定要注意对应线段写在对应位置上。 【知识点2】平行线分线段成比例的推论 平行线分线段成比例的基本事实的推论：平行于三角形一边的直线与其他两边相交，所截得的对应线段成比例。 图1 图2 图3 数学表达式：如上图1-3： 要点注意： （1） 本推论的实质是平行线分线段成比例列的基本事实中一组平行线中的一条过三角一个顶点一条在三角形一边上的特殊情况； （2） 成比例线段不涉及平行线上的线段； （3）当被截的两条直线相交时,其交点处可看作含有一条隐形的平行线(如上图). 【考点一】平行线分线段成比例判断比例式 【例1】如图，在中，，，则下列比例式中正确的是（　　）  A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平行线分线段成比例判断各项即可． 解：A．由，得，故A选项错误； B．由，得，又由，得，则，故B选项错误，D选项正确； C．由，得，故C选项错误； 故选：D． 【点拨】本题考查了平行线分线段成比例，两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例，平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例． 【举一反三】 【变式1】如图，直线，分别交直线m、n于点A、C、E、B、D、F，下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用平行线分线段成比例定理解决问题即可． 解：， ，，，； ∴选项A、C、D正确， 故选：B． 【点拨】本题考查平行线分线段成比例定理，熟练运用平行线分线段成比例定理是解题的关键． 【变式2】如图，在平行四边形中，E是上一点，连接并延长交的延长线于点F，则下列结论错误的是（　　）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平行四边形的性质得出，，，，利用平行线分线段成比例定理逐项进行判断即可． 解：A．∵四边形为平行四边形， ∴，，，， ∵， ∴， ∵， ∴，故A正确，不符合题意； B．∵， ∴， ∵， ∴，故B正确，不符合题意； C．∵， ∴，故C正确，不符合题意； D．∵， ∴， 即， ∵， ∴， ∴，故D错误，符合题意． 故选：D． 【点拨】本题主要考查了平行四边形的性质，平行线分线段成比例定理，解题的关键是灵活运用平行线分线段成比例定理． 【考点二】平行线分线段成比例求比值 【例2】如图，为平行四边形的对角线上一点，，的延长线交的延长线于点，交于点，求的值．    【答案】 【分析】由，可得，即，得出，由，可得：． 解：∵四边形为平行四边形， ∴，，，， ∵， ∴， 即， ∴， ∵， ∴． 【点拨】本题主要考查了平行线四边形的性质，平行线分线段成比例定理，解题的关键是熟练掌握平行线分线段成比例定理，求出． 【举一反三】 【变式1】如图，在中，、、分别是边，，上的点，，，且，那么的值为（    ） A．4：3 B．3：2 C．3：4 D．2：4 【答案】B 【分析】根据平行线分线段成比例定理，列出比例式求解即可得出答案． 解：∵，，， ∴， ∴， 故选：B． 【点拨】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练利用平行线分线段成比例定理是解题的关键． 【变式2】如图，在中，点、分别在边、上，，， ． 【答案】 【分析】由，可得，根据，可得，问题随之解得． 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【点拨】本题主要考查了三角形中平行线分线段成比例的知识，掌握相应的考点知识，是解答本题的关键． 【考点三】平行线分线段成比例求线段长 【例3】如图，，于点D，M是的中点，交于点P，．若，求的长．    【答案】 【分析】证明，结合，可得，，从而可得答案． 解：∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵点M是线段的中点，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点拨】本题考查的是三角形的中位线的性质，等腰三角形的性质，平行线分线段成比例的应用，熟记平行线分线段成比例并灵活运用是解本题的关键． 【举一反三】 【变式1】如图，若直线，且，，则（    ）