专题4.5 黄金分割（知识梳理与考点分类讲解）-2023-2024学年九年级数学上册基础知识专项突破讲与练（北师大版）

专题4.5 黄金分割（知识梳理与考点分类讲解） 【知识点】黄金分割 在线段AB上，点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果,那么称线段AB被点C黄金分割（golden section）,点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比.其中≈0.618.由得AC=AB·BC,AC叫做AB与BC的比例中项。 【考点一】黄金分割求比值 【例1】如图，点是正方形的边边上的黄金分割点，且＞，表示为边长的正方形面积，表示以为长，为宽的矩形面积，表示正方形除去和剩余的面积，求：的值． 【答案】． 【分析】根据黄金分割的定义：把线段分成两条线段AC和（＞），且使是和的比例中项，叫做把线段黄金分割，点叫做线段的黄金分割点．其中，由定义可得：设 求解，从而可得答案． 解：如图，设， 点是正方形的边边上的黄金分割点，且＞， ＞ ， 正方形,正方形 ， ：： ： ． 【点拨】本题考查了黄金分割、矩形的性质、正方形的性质，一元二次方程的解法，解决本题的关键是掌握黄金分割定义． 【举一反三】 【变式1】如果点C是线段AB的黄金分割点，那么下列线段的比值不可能是黄金比的是（　　） A．AB：BC B．BC：AC C．BC：AB D．AC：BC 【答案】A 【分析】根据黄金分割点的定义进行判断即可． 解：如果点C是线段AB的黄金分割点， 则黄金比可能是BC：AC或BC：AB或AC：BC， 不可能是AB：BC 故选：A． 【点拨】本题考查了成比例线段，掌握知识点是解题关键． 【变式2】我们知道，两条邻边之比等于黄金分割数的矩形叫做黄金矩形．如图，已知矩形ABCD是黄金矩形，点E在边BC上，将这个矩形沿直线AE折叠，使点B落在边AD上的点F处，那么EF与CE的比值等于 ． 【答案】 【分析】根据折叠的性质以及矩形的性质可证四边形ABEF是正方形，可得EF＝BE，进一步即可求出EF与CE的比值． 解：根据折叠，可知AB＝AF，BE＝FE，∠BAE＝∠FAE， 在矩形ABCD中，∠BAF＝∠B＝90°， ∴∠BAE＝∠FAE＝45°， ∴∠AEB＝45°， ∴BA＝BE， ∴AB＝BE＝EF＝FA， 又∵∠B＝90°， ∴四边形ABEF是正方形， ∴EF＝BE＝AB， ∵矩形ABCD是黄金矩形， ∴＝， ∴＝＝， 故答案为：． 【点拨】本题考查了黄金分割，矩形的性质，正方形的判定和性质，熟练掌握黄金分割是解题的关键． 【考点二】黄金分割点的证明 【例2】阅读下列材料，并按要求完成相应的任务：黄金分割：两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯（Eudoxus，约前408年一前355年）发现：如图1，将一条线段AB分割成长、短两条线段AP、PB，若短段与长段的长度之比等于长段的长度与全长之比，即（此时线段AP叫做线段PB，AB的比例中项），则可得出这一比值等于（0.618…）．这种分割称为黄金分割，这个比值称为黄金比，点P叫做线段AB的黄金分割点．采用如下方法可以得到黄金分割点：如图2，设AB是已知线段，经过点B作BD⊥AB于点B，且使BD＝AB，连接DA，在DA．上截取DE＝DB，在AB上截取AC＝AE，C就是线段AB的黄金分割点． 任务：（1）求证：C是线段AB的黄金分割点． （2）若BD＝1，则BC的长为 ． 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】（1）在直角三角形△ABD中设则 ，利用勾股定理求出，再求出，即，则，即可得出结论； （2）若BD＝1，则 ，把AB代入到即可求出AC，进而可求出BC． 解：（1）∵BD⊥AB， ∴△ABD是直角三角形， ∵BD＝AB， ∴设则 ， ∴ ， ∵DE＝DB，AC＝AE， ∴ ， ∴ ∴， ∴ ， 故C是线段AB的黄金分割点． （2）若BD＝1，则 ， 由（1）知， ∴， ∴ ， ∴ ． 【点拨】本题考查黄金分割、勾股定理等知识，解题关键是正确理解题意，掌握黄金分割的定义． 【举一反三】 【变式1】采用如下方法可以得到黄金分割点：如图，设是已知线段，经过点B作，使；连接，在上截取；在上截取．点C就是线段的黄金分割点．你能说说其中的道理吗？ 【分析】设AB＝2a，则BD＝a，DE＝a，根据勾股定理计算出AD＝a，则AE＝AD−DE＝（−1）a，再利用画法得到AC＝AE＝（−1）a，即AC＝AB，然后根据黄金分割的定义得到点C就是线段AB的黄金分割点． 解：设AB＝2a，则BD＝a，DE＝a， 在Rt△ABD中，AD＝=a， 所以AE＝AD−DE＝a−a＝（−1）a， 所以AC＝AE＝（−1）a， 即AC＝AB， 所以点C就是线段AB的黄金分割点． 【点拨】本题考查了黄金分割：把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例