专题2.49 圆（全章知识梳理与考点分类讲解）-2023-2024学年九年级数学上册基础知识专项突破讲与练（苏科版）

专题2.49 圆（全章知识梳理与考点分类讲解） 【知识点一】点和圆的位置关系 点在圆外，；点在圆上，；点在圆内，；（圆的半径为r,点到圆心的距离为d） 【知识点二】圆心角、两条弦、两条弧、两条弦心距关系 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弦、两条弧、两条弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等. 【知识点三】垂径定理及推论 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧. 垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧. 【知识点四】圆周角定理及推论 圆周角定理：圆周角的度数等于它所对的弧上的圆心角的一半. 推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等. 推论2：直径所对的圆周角是直角；圆周角所对的弦是直径. 推论3：圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角. 【知识点五】直线和圆的位置关系：（圆心到直线距离为d，圆的半径为r） 相交：直线与圆有两个公共点，； 相切：直线与圆有一个公共点，； 相离：直线与圆无公共点，. 【知识点六】切线性质定理和判定定理 切线定理：圆的切线垂直于过切点的半径. 切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 切线的判定方法：（1）直线与交点个数；（2）直线到圆心的距离与半径关系；（3）切线的判定定理. 【知识点七】切线长定理、弦切角定理 切线长定理：过圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线这两条切线的夹角. 弦切角定理： 弦切角等于它所夹弧所对的圆周角. 【知识点八】圆的确定 经过两点可作无数个圆，这些圆的圆心在这两点连线的垂直平分线上. 不在同一条直线上的三个点确定一个圆. 【知识点九】外心与内心 外心：三角形外接圆的圆心叫三角形的外心.外心是三角形三边垂直平分线的交点，它到三角形各顶点的距离相等. 锐角三角形的外心在三角形内，直角三角形的外心是斜边重点，钝角三角形的外心在三角形外部。 三角形的一个内角等于它另外两个角顶点与外心连线夹角的一半. 内心：内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做内心，它的性质是到三角形三边的距离相等。 三角形的一个内角等于它另外两个角顶点与内心连线夹角减去再乘以2.. 三角形周长为，面积为，内切圆半径为,则. 直角三角形两直角边分别是，斜边为，内切圆半径为，则. 【知识点十】弧长公式与扇形面积公式 正变形的圆心角为度. 弧长计算公式：在半径为的圆中，的圆心角所对的弧长计算公式为. 如果扇形的半径为，圆心角为，那么扇形面积的计算公式为. 如果扇形的半径为，弧长为，那么扇形面积的计算公式为. 【考点一】垂径定理及推论➼➼➻求角度★★证明 【例1】（2022秋·江苏泰州·九年级校联考阶段练习）如图，已知中，弦，点是弦上一点，，． （1）求的长； （2）过点作弦与弦垂直，求证：． 【答案】（1）；（2）见分析 【分析】（1）过点作于，根据，在直角三角中，求得，勾股定理求得即可求解； （2）过点作于，则，根据已知得出，进而根据角平分线的性质得出，连接，证明，得出，即可得证． （1）解：如图，过点作于，         则， ∵， ∴， ∴； （2）证明：过点作于， ∵，             ∴， ∵，         ∴， ∴，     ∴平分， ∵， ∴， 连接，如图， 在与中， ∴， ∴ ∴ ∴． 【点拨】本题考查了勾股定理，垂径定理，角平分线的性质，全等三角形的性质与判定，综合运用以上知识是解题的关键． 【举一反三】 【变式1】（2023·广西·统考中考真题）赵州桥是当今世界上建造最早，保存最完整的中国古代单孔敞肩石拱桥.如图，主桥拱呈圆弧形，跨度约为，拱高约为，则赵州桥主桥拱半径R约为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可知，，，主桥拱半径R，根据垂径定理，得到，再利用勾股定理列方程求解，即可得到答案． 解：如图，由题意可知，，，主桥拱半径R， ， 是半径，且， ， 在中，， ， 解得：， 故选B    【点拨】本题考查了垂径定理，勾股定理，利用直角三角形求解是解题关键． 【变式2】（2023·安徽合肥·统考一模）《梦溪笔谈》是北宋的沈括所著的笔记体综合性科学著作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图，弧是以点为圆心，为半径的圆弧，是弦的中点，在弧上，且．“会圆术”给出弧的弧长的近似值的计算公式：．当，时， ． 【答案】3 【分析】连接，根据计算，证明O、C、D三点共线，结合等腰直角三角形的性质，得，代入计算即可． 解：连接， ∵，，是弦的中点， ∴，，， ∵， ∴O、C、D三点共线， ∴，