11.2.1 第1课时 三角形的内角和（讲解课件PPT）-【优翼·学练优】2023-2024学年八年级上册初二数学同步备课（人教版）

11.2.1 三角形的内角 第十一章 三角形 11.2 与三角形有关的角 第1课时 三角形的内角和 优翼数学教学课件（RJ）八上 我的形状最小，那我的内角和最小. 我的形状最大，那我的内角和最大. 不对，我有一个钝角，所以我的内角和才是最大的. 一天，三类三角形通过对自身的特点，讲出了自己对三角形内角和的理解，请同学们作为小判官给它们评判一下吧. 情境引入 导入新课 我们在小学已经知道，任意一个三角形的内角和等于180°，与三角形的形状、大小无关，所以它们的说法都是错误的. 思考：除了度量以外，你还有什么办法可以验证三角形的内角和为 180° 呢? 折叠 还可以用拼接的方法，你知道怎样操作吗？ 三角形的三个内角拼到一起恰好构成一个平角. 观测的结果不一定可靠，还需要通过数学知识来证明.从上面的操作过程，你能发现证明的思路吗？ 还有其他的拼接方法吗？ 探究：在纸上任意画一个三角形，将它的内角撕下来拼合在一起. 三角形的内角和定理的证明 新课讲授 验证结论 三角形三个内角的和等于 180°. 求证：∠A +∠B +∠C = 180°. 已知：△ABC . 证法1：过点 A 作 l∥BC， 则∠B =∠1，∠C =∠2 (两直线平行，内错角相等). ∵∠1 +∠2 +∠BAC = 180°， ∴∠B +∠C +∠BAC = 180°. 1 2 证法2：延长 BC 到 D，过点 C 作 CE∥BA， 则∠A =∠1 (两直线平行，内错角相等)， ∠B =∠2 (两直线平行，同位角相等). 又∵∠1 +∠2 +∠ACB = 180°， ∴∠A +∠B +∠ACB = 180°. C B A E D 1 2 C B A E D F 证法3：过 D 作 DE∥AC，DF∥AB. ∴∠C = ∠EDB，∠B = ∠FDC (两直线平行，同位角相等)， ∠A +∠AED = 180°， ∠EDF +∠AED = 180° (两直线平行，同旁内角相补). ∴∠A = ∠EDF. ∵∠EDB +∠EDF +∠FDC = 180°， ∴∠C +∠A +∠B = 180°. 想一想：同学们还有其他的证法吗？ 思考：多种方法证明三角形内角和等于 180° 的核心是什么？ 借助的平行线“移角”的功能，将三个角转化到一个平角上. C A B 1 2 3 4 5 l A C B 1 2 3 4 5 l P 6 m A B C D E 知识要点 在这里，为了证明的需要，在原来的图形上添画的线叫做辅助线.在平面几何里，辅助线通常画成虚线. 思路总结 为了证明三个角的和为 180°，转化为一个平角或同旁内角互补等，这种转化思想是数学中的常用方法. 辅助线 在△ABD 中， ∠ADB = 180° - ∠B - ∠BAD = 180° - 75° - 20° = 85°. 例1 如图，在△ABC中， ∠BAC = 40°，∠B = 75°，AD 是△ABC 的角平分线，求∠ADB 的度数. A B C D 解：由∠BAC = 40°， AD 是△ABC 的角平分线，得 ∠BAD = ∠BAC = 20 °. 三角形的内角和定理的运用 【变式题】如图，CD 是∠ACB 的平分线，DE∥BC，∠A＝50°，∠B＝70°，求∠EDC，∠BDC 的度数． 解：∵∠A＝50°，∠B＝70°， ∴∠ACB＝180°－∠A－∠B＝60°. ∵ CD 是∠ACB 的平分线， ∴∠BCD＝ ∠ACB＝30°. ∵ DE∥BC， ∴∠EDC＝∠BCD＝30°. 在△BDC 中，∠BDC＝180°－∠B－∠BCD＝80°. 解：∵ DE⊥AB，∴∠FEA＝90°． ∵ 在△AEF 中，∠FEA＝90°，∠A＝30°， ∴∠AFE＝180°－∠FEA－∠A＝60°. 又∵∠CFD＝∠AFE， ∴∠CFD＝60°. ∴ 在△CDF 中，∠D＝180°－∠CFD－∠FCD＝40°. 例2 如图，△ABC 中，D 在 BC 的延长线上，过 D 作 DE⊥AB 于 E，交 AC 于 F. 已知∠A＝30°，∠FCD＝80°，求∠D. 基本图形 由三角形的内角和定理易得∠A +∠B =∠C +∠D. 总结归纳 由三角形的内角和定理易得∠1 +∠2 =∠3 +∠4. 例3 在△ABC 中， ∠A 的度数是∠B 的度数的 3 倍，∠C 比∠B 大 15°，求∠A，∠B，∠C 的度数. 解：设∠B 为 x°，则∠A 为 3x°，∠C 为 (x + 15)°， 从而有 3x + x + (x + 15)＝180. 解得 x＝33. ∴ 3x＝99，x + 15＝48.