11.1.2 三角形的高、中线与角平分线（Word导学案）-【优翼·学练优】2023-2024学年八年级上册初二数学同步备课（人教版）

第十一章 三角形

11．1  与三角形有关的线段

11.1.2  三角形的高、中线与角平分线

学习目标：1.掌握三角形的高，中线及角平分线的概念.（重点）

2.掌握三角形的高，中线及角平分线的画法.

3.掌握钝角三角形的两短边上高的画法.（难点）

重点：掌握三角形的高，中线及角平分线的概念.

难点：钝角三角形的两短边上高的画法.

一、知识链接

1.如图按要求作图：

                       P                    A

 

      

        A             B          O              B   

（1）在左图中，过点P作线段AB的垂线PD；作出线段AB的中点E，则有____=_____.

（2）在右图中，作出∠AOB的平分线，则有∠_____=∠_____=____∠AOB.

 

二、新知预习

1.三角形的高：

（1）小学我们已经学过三角形的高，如图①，过点A向它的对边画垂线，作出△ABC的高AD.

（2）自主归纳：

①从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点与垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高.

②一个三角形有______条高，请在图①中作出△ABC的另外两条高.

③三角形的高是一条_______.

2.（1）如图②，连接△ABC的顶点A和它的边BC的中点D，类比三角形高线的定义，则所得的线段AD叫做△ABC的边BC上的_____线，画出△ABC其他的两条中线.

 

（2）自主归纳：

①在三角形中，连接一个顶点与它对边的中点的线段，叫做这个三角形的中线.

②一个三角形有_____条中线，每条中线都是一条______.

3.三角形的角平分线：

（1）如图③，你能用同样的方法画出任意一个三角形的一个内角的平分线吗?

（2）自主归纳

①三角形角平分线定义：________________________.

②三角形的角平分线与角的平分线的区别是：______________.

③一个三角形有_______条角平分线.

4.几何语言表示三角形的高、中线、角平分线

	几何推理	图例
三角形的高	∵AD是△ABC的高， ∴①____⊥_____， ②∠ADB=∠______=______°.
三角形的中线	∵BF是△ABC的中线， ∴①AF=_____=______AC.   ②AC=____AF=____CF.	CB
三角形的角平分线	∵BE为△ABC的角平分线， ∴①∠1=∠_____=____∠ABC.   ②∠ABC=____∠1=___∠2.

三、自学自测

1.按要求画出下列三角形的中线、高线、角平分线.

画中线AD，BE，CF    画高DG，EH，FM     画角平分线GM，HN，IP

四、我的疑惑

________________________________________________________________________________________________________________________________

 

一、要点探究

探究点1：三角形的高

问题1：什么是三角形的高？怎样画三角形的高？

 

问题2：由三角形的高你能得到什么结论？

 

 

探究交流

1．锐角三角形的三条高

（1）你能画出这个三角形的三条高吗？

（2）这三条高之间有怎样的位置关系？

（3）锐角三角形的三条高是在三角形的内部还是外部？

 

 

2．直角三角形的三条高

（1）画出直角三角形的三条高.

 

 

（2）它们有怎样的位置关系？

直角边BC上的高是     ；直角边AB上的高是     ；斜边AC上的高是     .

 

 

3．钝角三角形的三条高

（1）钝角三角形的三条高相交吗？

（2）AC边上的高是哪条线段？AB边上的高是哪条线段？BC边上的高是哪条线段？

（3）钝角三角形的三条高交于一点吗？

（4）它们所在的直线交于一点吗？这点位于何处？

 

 

 

 

归纳  三角形的三条高的特性

	锐角三角形	直角三角形	钝角三角形
高在三角形内部的数量
高之间是否相交
高所在的直线是否相交
三条高所在直线的交点的位置

 

典例精析

例1  如图所示，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，AD⊥BC于点D，且AD＝4，若点P在边AC上移动，求BP的最小值.